TABLAS Y GRÁFICAS

4 Diciembre 2017 por carmenrga

En el siguiente enlace podemos iniciarnos en  las tablas y funciones:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_tablas_y_graficas/1quincena11.pdf

En este se  profundiza un poco más:

http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com.es/p/2-eso-tema-10-funciones-y-graficas.html

Para las parábolas o funciones cuadráticas el siguiente enlace:

http://ies.villablanca.madrid.educa.madrid.org/web/departamentos/matematicas/9_Funciones%20cuadr%C3%A1ticas.%20Par%C3%A1bolas.pdf

ESTADISTICA

5 Noviembre 2017 por carmenrga

La Estadística es la parte de las Matemáticas que estudia una serie de datos para compararlos y sacar conclusiones.

Población: Es el conjunto total de individuos sobre los que se quiere estudiar unos datos determinados. [Por ej., si queremos estudiar la estatura media de los españoles, la población la constituirán todos los españoles. O si queremos estudiar la nota media de Matemáticas en 2º de
la ESO en el Instituto Severo Ochoa, la población la constituyen todos los alumnos de 2º de ESO del Instituto].

Muestra: Cuando la población es muy grande (por ejemplo, todos los españoles) o difícil de estudiar (por ej., la calidad de las bombillas o la deformación de los coches en un choque) se elige una muestra, que es una parte de la población representativa de la misma, es decir, con unas características similares. Ha de elegirse al azar. [Por ejemplo, para estudiar la estatura de los españoles en la muestra deberíamos incluir a individuos de diferentes edades, de diferente estrato social y económico, de distinto lugar geográfico, de ambos sexos].

Variable estadística: Es el dato o característica que se quiere estudiar. Por ejemplo: la estatura, la calidad de las bombillas, la nota de Matemáticas, etc.

Variable cuantitativa: Es aquélla que estudia algo que se expresa mediante números. Por ej., la estatura, la nota de Matemáticas, etc. Puede ser:

            - discreta, si toma valores aislados (números enteros), como, por ejemplo, el número de hermanos de los alumnos de 2º de ESO. [Los valores de la variable son números enteros; un alumno no puede tener 2,3 hermanos, por ejemplo].

            - continua, si toma todos los valores dentro de un intervalo, como por ejemplo estatura de los alumnos de 2º ESO. [Los valores de la variable pueden ser, por ejemplo, desde 1,50 metros hasta 2 metros de estatura, pudiendo tomar cualquier valor intermedio].

Variable cualitativa: Es aquélla que estudia algo que no puede expresarse por números. Por ej., qué programa de TV se ve más, qué libro de lectura es el preferido por los alumnos de 2º de ESO, etc.

Encuesta: Procedimiento que nos permite obtener los datos para hacer un estudio de ellos (puede ser oral o escrita).

Tablas de frecuencias:

En un estudio estadístico, una vez obtenidos los datos hay que recontarlos, ordenarlos y tabularlos, esto es, colocarlos en tablas en las que se aprecie información sobre las frecuencias de cada valor o cada cualidad de la variable. Por ejemplo, si estamos estudiando las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 2º de la ESO  habríamos de proceder de una forma parecida a la siguiente:

Variable

(Notas)

xi

Frecuencia

(Alumnos)

ni

Frecuencia

relativa

fi

Frecuencia

acumulada

Ni

xi · ni

0

2

0,07

2

0

1

2

0,07

4

2

2

1

0,03

5

2

3

4

0,13

9

12

4

2

0,07

11

8

5

3

0,1

14

15

6

3

0,1

17

18

7

4

0,13

21

28

8

3

0,1

24

24

9

4

0,13

28

36

10

2

0,07

30

20

 

30

1

 

165

De esta forma enseguida veríamos, por ejemplo, que ha habido 3 alumnos que han tenido un 6.

Frecuencia absoluta (ni): número de veces que aparece cada valor (xi) de la variable (p. ej., la frecuencia de la nota 7 en este ejemplo es 4). La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos (N).

Frecuencia relativa (fi): es el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos (N):

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

La frecuencia relativa se puede convertir en porcentaje multiplicándola por 100. Así, p. ej., el porcentaje de alumnos que han obtenido un 7 en Matemáticas es del 13 % (0,13 · 100)

Representaciones gráficas:

Para dar a conocer los datos de un estudio estadístico se confeccionan gráficas estadísticas, de las cuales estudiaremos los Diagramas de barras y los Diagramas de sectores.

Diagrama de barras:

Un diagrama de barras consiste en la representación mediante barras de los valores de la variable, con una altura de la barra proporcional a su frecuencia absoluta.

Las barras se colocan en unos ejes de coordenadas: en el eje de las abscisas se ponen los valores de la variable y en el eje de ordenadas su frecuencia.

Se pueden representar variables cualitativas o cuantitativas.

 

Si unimos los puntos medios de los extremos de las barras por una línea obtenemos un polígono de frecuencias, que se utiliza con variables cuantitativas.

 

Diagrama de Sectores:

Un diagrama de sectores consiste en representar los valores o cualidades de la variable en sectores circulares.

La amplitud o área de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia de cada valor (para ello se dividen los 360º de la circunferencia entre el número total de datos, N, para saber cuántos grados corresponden a cada dato, y el resultado se va multiplicando por cada frecuencia absoluta de los respectivos valores de la variable).

Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P. Tabula los datos en una tabla de frecuencias y representa los resultados en un diagrama de sectores.

Variable

(Estación del año)

xi

Frecuencia

ni

Amplitud de sectores

(Para cada dato: 360º : 30 = 12º)

P

8

8 · 12º = 96º

V

12

12 · 12 = 144º

O

6

6 · 12º = 72º

I

4

4 · 12º = 48º

 

30

30 · 12º = 360º

 

            También se utilizan mucho en los medios de comunicación los pictogramas, que consisten en representar los datos con dibujos referidos a la variable que se estudia y de tamaño proporcional a la frecuencia de los valores de la variable.

Parámetros centrales

En muchas ocasiones es poco práctico ofrecer todos los datos obtenidos y lo que se hace es facilitar los que resuman las características que estamos estudiando. Para ello se suelen utilizar los llamados valores centrales, que son: Media aritmética, Mediana y Moda.

Media aritmética:

La media aritmética se calcula sumando todos los valores obtenidos de la variable estudiada y dividiéndolos por el número de datos que haya. La media se representa con la letra x y una rayita encima. Lógicamente, la media sólo se puede calcular con datos cuantitativos.

Ejemplo: Las notas de Matemáticas de un alumno de 2º de ESO en la 3ª evaluación han sido éstas: 7, 6, 5, 8. ¿Cuál es su nota media?

Si los datos los hemos ordenado en una tabla de frecuencias, la media se calcula multiplicando cada valor de la variable por su frecuencia absoluta, sumando los productos obtenidos y dividiendo el resultado entre el número de datos que haya.

Ejemplo: Calcular la media aritmética de las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 2º de la ESO que aparecen en esta tabla de frecuencias:

Variable

(Notas)

xi

Frecuencia

(Alumnos)

ni

xi · ni

0

2

0

1

2

2

2

1

2

3

4

12

4

2

8

5

3

15

6

3

18

7

4

28

8

3

24

9

4

36

10

2

20

 

30

165

 

Mediana:

La mediana es el valor que ocupa el lugar del medio, el central, después de haber ordenado todos los datos de menor a mayor.

Si el número de datos es impar, sólo habrá uno en el medio. Si es par, habrá dos que ocupen el lugar central y habremos de hallar la media aritmética de ambos.

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 8, 7, 9, 4, 6, 8, 5, 7, 6?

Notas ordenadas: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Me = 7

Otro ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 6, 5, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 7, 8?

Notas ordenadas: 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Me = 6,5

Si los datos están en una tabla de frecuencias, la mediana es el primer valor cuya frecuencia acumulada sea mayor que N/2 , si N es impar.

Ejemplo: Al tirar un dado 15 veces se han obtenido los valores (puntuaciones) de la siguiente tabla. Calcula la Mediana.

 

Variable

(Puntos)

xi

Frecuencia

ni

Frecuencia

acumulada

Ni

1

2

2

2

3

5

3

1

6

4

3

9

5

4

13

6

2

15

 

15

 

El primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada es mayor que 7,5 es xi = 4 (Ni = 9 > 7,5). Por lo tanto:

Me = 4

Si N es par, la mediana será la media aritmética de los primeros valores cuya frecuencia acumulada contenga a

Ejemplo: Al tirar un dado 16 veces se han obtenido los valores (puntuaciones) de la siguiente tabla. Calcula la Mediana.

 

Variable

(Puntos)

xi

Frecuencia

ni

Frecuencia

acumulada

Ni

1

2

2

2

3

5

3

1

6

4

2

8

5

4

12

6

4

16

 

16

 

Como el número de datos es par, N = 16, à

El primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada contiene a 8 es xi = 4 (Ni = 8) y el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada contiene a 9 (8 + 1) es xi = 5 (Ni = 12, que contiene a 9). Por lo tanto:

 

Me = 4,5

Moda:

La moda es el valor que más se repite, que está “de moda”. Por lo tanto, es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Hay moda tanto en las variables cuantitativas como en las cualitativas.

Puede haber más de una moda. Si hubiera dos modas, la distribución sería bimodal; si hubiera tres, sería trimodal; y si hubiera más de tres, sería multimodal.

Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido los recogidos en esta tabla:

Variable

(Estación del año)

xi

Frecuencia

ni

P

8

V

12

O

6

I

4

 

30

¿Cuál es la moda?

Respuesta: La moda es Verano (la estación preferida por los alumnos, la que mayor frecuencia absoluta tiene).

FUENTE: http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com.es/p/2-eso-tema-14-estadistica.html

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

5 Noviembre 2017 por carmenrga

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo:

3x+2y=1x

x−5y=6

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo es

x=1

y=−1

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado.

Fuente:https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.html

convocatoria enero 2014

5 Noviembre 2017 por carmenrga

En esta sesión dejaremos sin hacer las preguntas 1B, 6, 8 y 9.

TEOREMA DE TALES

Para comprender el teorema de Tales es importante saber que son los triángulos semejantes.

triángulotriángulo

Dados los triángulos ABC y A’B'C’ determinamos los lados y ángulos homólogos.

Lados homólogos:

a y a’, b y b’, c y c’

Ángulos homólogos:

letras

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

ángulos

razones

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

Fuente: https://www.ditutor.com/geometria/triangulos_semejantes.html

En la fuente tenéis ejercicios sobre triángulos semejantes.

:::”Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”:::

Teorema

de

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema se puede definir en : a² + b² = c² donde “c” es la hipotenusa y “a” y “b” son los catetos del triángulo.

UNIDADES DE LONGITUD

La unidad principal de longitud es el metro.

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:

kilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 m
decámetro dam 10 m
metro m 1 m
decímetro dm 0.1 m
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

LA PIRÁMIDE

area-piramide.jpg

PROBABILIDAD

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística, además de otras disciplinas como matemática, física u otra ciencia. En ellas se aplica una teoría de probabilidades, la cual tiene como fin examinar las formas y medios para obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos de combinarlos cuando intervienen varios sucesos en un experimento aleatorio o prueba.

Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso.

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

22 Octubre 2017 por carmenrga

Fracciones. ¿Qué son y para qué sirven?

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b. El divisor no puede ser 0.

fraccion1.gif

El conjunto matemático que contiene a las fracciones de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0 es el conjunto de los números racionales, denotado como ℚ.

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

El uso de las fracciones en la vida real suele ser el tomar de un número la parte que la fracción nos indica: si es 1/2, sería la mitad; si es 13/10, sería 13 décimas partes del número; etc. Entonces la fracción se dice que funciona como operador, y se puede leer como “la fracción del número”.

Ejemplo:

se puede leer: “3 medios de 3475″, y significa dividir 3475 en 2 partes iguales, y tomar 3.

De cualquier forma, la fracción como operador está multiplicando al número, así que podemos hacer la división primero y multiplicar el resultado por el número.

También podemos subir el número al numerador, ya que es un número que “multiplica”,  “no que “divide”:

Fuente:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_y_porcentajes/fracciones6.htm

LOS NÚMEROS DECIMALES

Todo número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma decimal y una parte decimal, situada a la derecha.

Los números decimales se utilizan para representar números más pequeños que la unidad.

Los números decimales se escriben a la derecha de las Unidades separados por una coma. Es decir:

Centenas   Decenas   Unidades , Décimas   Centésimas   Milésimas

¿Cuál es la relación de los decimales con las fracciones? 

La Unidad se representa por 1.

La Décima es la unidad dividida en 10 partes iguales = 1/10 = 0,1

La Centésima es la unidad dividida en 100 partes iguales = 1/100 = 0,01

La Milésima es la unidad dividida en 1000 partes iguales = 1/1000 = 0,001

Ejemplo para pasar de decimal a fracción:

7,508:

Nos fijamos en el último número, en el 8, que ocupa el lugar de las milésimas, por lo tanto el denominador tendrá que ser 1000. Y en el numerador escribiremos el número completo sin la coma. 7,508 = 7508/1000

Ejercicios online para practicar los números decimales :

https://www.smartick.es/matematicas/decimales.html#concepto-de-decimal-I

Fuente:https://www.smartick.es/blog/

matematicas/numeros-decimales/los-numeros-decimales/

FRACCIONES EQUIVALENTES

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan una misma cantidad. Por ejemplo, ¿cuál de las siguientes fracciones crees que será mayor?

fracciones equivalentes 1

pizza

¿Lo has averiguado? Vamos a verlo con un ejemplo, partiendo esta pizza en tantos trozos como indique la fracción.

Para representar 1/2, partiremos la pizza en 2 trozos y nos quedaremos con 1 trozo:

fracciones equivalentes 2

Para representar 3/6, partiremos la pizza en 6 trozos y nos quedaremos con 3 trozos:

fracciones equivalentes 3

Para representar 4/8, partiremos la pizza en 8 trozos y nos quedaremos con 4 trozos:

fracciones equivalentes 4

¿Hay algún trozo de pizza que sea más grande? ¡No! Fíjate, las tres fracciones representan la misma cantidad de pizza, justo la mitad, por eso son fracciones equivalentes:

fracciones equivalentes 5

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes? Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal.

Por ejemplo, las tres fracciones anteriores representan el mismo número decimal: 0,5.

1/2 es 1 entre 2, que es 0,5.fracciones equivalentes 6

3/6 es 3 entre 6, que es 0,5.

4/8 es 4 entre 8, que es 0,5.

¿Cómo podemos hallar una fracción que sea equivalente a otra?

Si queremos hallar una fracción equivalente a otra, podemos:

Multiplicar denominador y numerador por el mismo número. Hallamos una fracción equivalente con numerador y denominador más grandes. Por eso este proceso se llama amplificación.

fracciones equivalentes 7

Dividir denominador y numerador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número). Así, estamos hallando una fracción equivalente con numerador y denominador más pequeños. Por eso, este proceso se llama simplificación.

fracciones equivalentes 8

¿Estás listo para practicar algunos ejercicios de fracciones equivalentes? Pues pincha en los siguientes enlaces:

Practica ejercicios de fracciones equivalentes

Practica ejercicios de fracciones equivalentes más difíciles

Fuente: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/fracciones-equivalentes-2/

Suma de fracciones.
Si dos fracciones tiene el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Resta de fracciones.
Si dos fracciones tiene el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se restan los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Producto de fracciones.

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador y , por supuesto, si se puede simplificar se simplifica.

Cociente de fracciones.

Para dividir dos fracciones multiplicamos en cruz. Luego se simplifica.

Operaciones combinadas Una vez que controlamos las operaciones elementales con fracciones, suma, resta, producto y cociente el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas. Para ello hay que tener en cuenta la preferencia operando. Recuerda primero en orden de importancia están los corchetes y paréntesis, luego los productos y cocientes y finalmente sumas y restas.

Fuente: https://www.ematematicas.net

Ejercicios online de fracciones:

https://www.vitutor.com/di/r/a_6e.html



Potencias y raíces

1 Octubre 2017 por carmenrga

Videos:

Potencias con exponente natural

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

signos ·

Propiedades

1. a0 = 1 ·

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

a· a = am+n

4. División de potencias con la misma base:

a: a = am - n

5. Potencia de una potencia:

(am)n=am · n

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

a· b = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

a: b = (a : b) n

Potencias de exponente entero negativo

potencia

La operación de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

ra�z

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

resto

Operaciones combinadas

Prioridades

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

ACTIVIDADES ONLINE

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j1-la-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j100g-l3-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j801-l5-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-jg00-l5-p0

Números enteros

1 Octubre 2017 por carmenrga

Video

Los números enteros son del tipo:

enteros = {…−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

1. Todo número negativo es menor que cero.

2. Todo número positivo es mayor que cero.

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Propiedades

1. Interna:

a + b Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna:

a − b Pertenece enteros

2. No es Conmutativa:

Mutiplicación de números enteros

El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

signos

Propiedades

1. Interna:

a · b Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Propiedades

1. No es una operación interna

2. No es Conmutativo:

Ejercicios online 

https://www.thatquiz.org/es-8/?-j10-lc-p0

https://www.vitutor.com/di/e/a_3e.html

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh03-la-p0

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh0c-lc-p0

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh8f-lc-p0

https://www.thatquiz.org/es-o/?-j12-l4-p0

RESUMEN

numeros.jpg

Actividades online:

https://www.matematicasonline.es/primeroeso/fichas/enteros.html 

Examen de números enteros con soluciones:

https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/matematicasenunclic/files/2015/10/EX.UD1_.ENTEROS.3ESOM.SOLUCIONES.201516.pdf

Máximo común divisor y mínimo común múltiple

1 Octubre 2017 por carmenrga

Videos

En el examen nos dejan usar la calculadora.

Calculadora online:

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/number_theory/nod_nok/ 

Pasos para hacerlo con la calculadora:

https://fjp.es/minimo-comun-multiplo-y-maximo-comun-divisor-con-calculadora/ 

Máximo común divisor

El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

1.

descomposiciones

72 = 2· 32

108 = 2· 33

60 = 2· 3 · 5

2.

m. c. d. (72, 108, 60) = 2· 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.

El número 12 es divisor de 36.

m. c. d. (12, 36) = 12

Mínimo común múltiplo

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores primos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo

72 = 2· 32

108 = 2· 33

60 = 2· 3 · 5

m. c. m. (72, 108, 60) = 2· 33 · 5 = 1 080

2160 es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 y 60.

Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12.

m. c. m. (12, 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejercicios

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

1428 y 376

428 = 22 · 107

376 = 23 · 47

m. c. d. (428, 376) = 22 = 4

m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232

2148 y 156

148 = 22 · 37

156 = 22 · 3 · 13

m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4

m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772

3600 y 1 000

600 = 23 · 3 · 52

1000 = 23 · 53

m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200

m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 5= 3000

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

11048, 786 y 3930

Descomposiciones

1048 = 2· 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262

m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2· 3 · 5 · 131 = 15 720

23120, 6200 y 1864

Descomposiciones

3210 = 2· 3 · 5 · 13

6200 = 2· 5· 31

1864 = 2· 233

m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8

m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 5· 13 · 31 · 233 =

= 112 678 800

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.

Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

12 = 22 · 3

18 = 2· 32

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h.

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.

¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9?

m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720

720 + 9 = 729

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

m. c. d.(250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

A = 30 · 50 = 1500 dm2

m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado

A b = 102 = 100 dm2

1500 dm2 : 100 dm= 15 baldosas

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

8 m = 80 dm 80 = 2· 5

6.4 m = 64 dm64 = 26

m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado

A b = 162 = 256 dm2

A = 80 · 64 = 5120 dm2

5120 dm: 256 dm= 20 baldosas

TRUCO 

Si el enunciado del problema nos indica que el número a calcular es menor que los datos hay que hacer el M.C.D.

Si es mayor que los datos hay que calcular el M.C.M

RESUMEN 

Máximo común divisor

El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. El mínimo común múltiplo, m.c.m. Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

Números primos y compuestos

1 Octubre 2017 por carmenrga

VIDEOS

¿Qué son los números primos?

Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1.

¿Qué son los números compuestos?

Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de número primo y compuesto:

El 11 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 11, pero no se puede escribir como ninguna otra multiplicación. Solo tiene como divisores el 1 y el 11, por lo tanto es un número primo.

El 12 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 12, y también se puede escribir como la multiplicación de 3 x 4, y de 2 x 6. Como 12 es divisible por más números de 1 y el mismo, 12 es un número compuesto.

Tabla de números primos:

Vamos a construir la tabla de números primos hasta el 100.

números compuestos

Vamos a empezar con el 2. El 2 es un número primo pero todos lo múltiplos de 2 serán números compuestos, ya que serán divisibles entre 2. Tachamos de nuestra tabla todos los múltiplos de 2.

El siguiente número primo es el 3, por lo tanto podemos tachar todos los múltiplos de 3, ya que serán números compuestos.

El siguiente número primo es el 5, por lo que tachamos todos los múltiplos de 5.

El siguiente número primo es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7.

El siguiente número primo es el 11, por lo que tachamos todos los múltiplos de 11, que son el 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, y el 99. Todos estos ya habían sido tachados con anterioridad, por lo que ya hemos terminado de tachar todos los números compuestos de nuestra tabla.

números compuestos

Esta es nuestra lista de números primos del 1 al 100. No es necesario que te los aprendas de memoria, pero si que te acuerdes de los más pequeños, como el 2, 3, 5, 7, 11, 13.

ACTIVIDADES ONLINE

https://www.smartick.es/matematicas/exercise.html?resource=primos-hasta-50 

https://www.smartick.es/matematicas/exercise.html?resource=primos-hasta-200 

RESUMEN 

Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1. Los números compuestos son el resto de números.

Números naturales

1 Octubre 2017 por carmenrga

Vídeo:

LOS NÚMEROS NATURALES 

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

> 3 flecha 5 es mayor que 3.

< 5 flecha 3 es menor que 5.

Propiedades de la suma

1.Internaa + b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa(a + b) + c = a + (b + c)

3. Conmutativaa + b = b + a

4. Elemento neutroa + 0 = a 

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna: 2 − 5 No perteneceConjunto de los números naturales

2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación

1. Internaa · b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativaa · b = b · a

4. Elemento neutroa · 1 = a

5. Distributivaa · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor comúna · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de la división

1.División exactaD = d · c

2. División entera D = d · c + r

3. No es una operación interna: 2 : 6 No perteneceConjunto de los números naturales

4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0

6. No se puede dividir por 0.

ACTIVIDADES ONLINE 

http://agrega.educa.madrid.org/repositorio/25032010/0e/es_2008050513_0230700/mt07_oa03_es/index.html 

IMPORTANTE 

El cero  es un número natural.

Los pasos a seguir a la hora de hacer las operaciones cuando operamos con varios números naturales es la siguiente:

1º los paréntesis y los corchetes

2º las multiplicaciones y las divisiones

3º sumas y restas 

Resumen