Teorema de Thales

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

x
Tales de Mileto.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente ( triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos ).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa ).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

Dado un triángulo ABC , si se traza un segmento paralelo, B’C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB’C’ , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC .

x

Lo que se traduce en la fórmula

tales001

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triágulo de abajo, hallar las medidas de los segmentos a y b .

x

Apicamos la fórmula, y tenemos

tales002

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

tales003

Una aplicación del Teorema de Tales.

Por ejemplo, en la figura de arriba se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

tales003

Este corolario es la base de la geometría descriptiva.

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.
x

tales006

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
x

, porque se cumple el teorema de Thales .

tales007

Fuentes Internet:     http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html

En la siguiente página hay ejercicios con solución para practicar el teorema:

http://www.pinae.es/wp-content/uploads/2016/01/EJERCICIOS-RESUELTOS-TEMA-11-2ESO-PUBLICAR-.pdf

 

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