Artículos de General

FRACCIONES Y NÚMEROS DECIMALES

Domingo, 22 Octubre 2017

Fracciones. ¿Qué son y para qué sirven?

Una fracción es el cociente de dos números enteros a y b. El divisor no puede ser 0.

fraccion1.gif

El conjunto matemático que contiene a las fracciones de la forma a/b, donde a y b son números enteros y b≠0 es el conjunto de los números racionales, denotado como ℚ.

LA FRACCIÓN COMO OPERADOR

El uso de las fracciones en la vida real suele ser el tomar de un número la parte que la fracción nos indica: si es 1/2, sería la mitad; si es 13/10, sería 13 décimas partes del número; etc. Entonces la fracción se dice que funciona como operador, y se puede leer como “la fracción del número”.

Ejemplo:

se puede leer: “3 medios de 3475″, y significa dividir 3475 en 2 partes iguales, y tomar 3.

De cualquier forma, la fracción como operador está multiplicando al número, así que podemos hacer la división primero y multiplicar el resultado por el número.

También podemos subir el número al numerador, ya que es un número que “multiplica”,  “no que “divide”:

Fuente:http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Fracciones_y_porcentajes/fracciones6.htm

LOS NÚMEROS DECIMALES

Todo número decimal tiene una parte entera, situada a la izquierda de la coma decimal y una parte decimal, situada a la derecha.

Los números decimales se utilizan para representar números más pequeños que la unidad.

Los números decimales se escriben a la derecha de las Unidades separados por una coma. Es decir:

Centenas   Decenas   Unidades , Décimas   Centésimas   Milésimas

¿Cuál es la relación de los decimales con las fracciones? 

La Unidad se representa por 1.

La Décima es la unidad dividida en 10 partes iguales = 1/10 = 0,1

La Centésima es la unidad dividida en 100 partes iguales = 1/100 = 0,01

La Milésima es la unidad dividida en 1000 partes iguales = 1/1000 = 0,001

Ejemplo para pasar de decimal a fracción:

7,508:

Nos fijamos en el último número, en el 8, que ocupa el lugar de las milésimas, por lo tanto el denominador tendrá que ser 1000. Y en el numerador escribiremos el número completo sin la coma. 7,508 = 7508/1000

Ejercicios online para practicar los números decimales :

https://www.smartick.es/matematicas/decimales.html#concepto-de-decimal-I

Fuente:https://www.smartick.es/blog/

matematicas/numeros-decimales/los-numeros-decimales/

FRACCIONES EQUIVALENTES

Las fracciones equivalentes son aquellas fracciones que representan una misma cantidad. Por ejemplo, ¿cuál de las siguientes fracciones crees que será mayor?

fracciones equivalentes 1

pizza

¿Lo has averiguado? Vamos a verlo con un ejemplo, partiendo esta pizza en tantos trozos como indique la fracción.

Para representar 1/2, partiremos la pizza en 2 trozos y nos quedaremos con 1 trozo:

fracciones equivalentes 2

Para representar 3/6, partiremos la pizza en 6 trozos y nos quedaremos con 3 trozos:

fracciones equivalentes 3

Para representar 4/8, partiremos la pizza en 8 trozos y nos quedaremos con 4 trozos:

fracciones equivalentes 4

¿Hay algún trozo de pizza que sea más grande? ¡No! Fíjate, las tres fracciones representan la misma cantidad de pizza, justo la mitad, por eso son fracciones equivalentes:

fracciones equivalentes 5

¿Cómo sabemos si dos fracciones son equivalentes? Dos fracciones son equivalentes si representan el mismo número decimal.

Por ejemplo, las tres fracciones anteriores representan el mismo número decimal: 0,5.

1/2 es 1 entre 2, que es 0,5.fracciones equivalentes 6

3/6 es 3 entre 6, que es 0,5.

4/8 es 4 entre 8, que es 0,5.

¿Cómo podemos hallar una fracción que sea equivalente a otra?

Si queremos hallar una fracción equivalente a otra, podemos:

Multiplicar denominador y numerador por el mismo número. Hallamos una fracción equivalente con numerador y denominador más grandes. Por eso este proceso se llama amplificación.

fracciones equivalentes 7

Dividir denominador y numerador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número). Así, estamos hallando una fracción equivalente con numerador y denominador más pequeños. Por eso, este proceso se llama simplificación.

fracciones equivalentes 8

¿Estás listo para practicar algunos ejercicios de fracciones equivalentes? Pues pincha en los siguientes enlaces:

Practica ejercicios de fracciones equivalentes

Practica ejercicios de fracciones equivalentes más difíciles

Fuente: https://www.smartick.es/blog/matematicas/recursos-didacticos/fracciones-equivalentes-2/

Suma de fracciones.
Si dos fracciones tiene el mismo denominador, se suman los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se suman los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Resta de fracciones.
Si dos fracciones tiene el mismo denominador, se restan los numeradores y se deja el mismo denominador. Si la fracción resultado se puede simplificar, se simplifica.

Si las fracciones tienen distinto denominador se reducen a común denominador y se restan los numeradores dejando el denominador. Finalmente, si es posible se simplifica.

Producto de fracciones.

Para multiplicar fracciones se multiplica numerador por numerador y denominador por denominador y , por supuesto, si se puede simplificar se simplifica.

Cociente de fracciones.

Para dividir dos fracciones multiplicamos en cruz. Luego se simplifica.

Operaciones combinadas Una vez que controlamos las operaciones elementales con fracciones, suma, resta, producto y cociente el siguiente paso es realizar operaciones conjuntas. Para ello hay que tener en cuenta la preferencia operando. Recuerda primero en orden de importancia están los corchetes y paréntesis, luego los productos y cocientes y finalmente sumas y restas.

Fuente: https://www.ematematicas.net

Ejercicios online de fracciones:

https://www.vitutor.com/di/r/a_6e.html



Potencias y raíces

Domingo, 1 Octubre 2017

Videos:

Potencias con exponente natural

La potencia de exponente natural de un número entero es otro número entero, cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la potencia y cuyo signo es el que se deduce de la aplicación de las siguientes reglas:

signos ·

Propiedades

1. a0 = 1 ·

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base:

a· a = am+n

4. División de potencias con la misma base:

a: a = am - n

5. Potencia de una potencia:

(am)n=am · n

6. Producto de potencias con el mismo exponente:

a· b = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente:

a: b = (a : b) n

Potencias de exponente entero negativo

potencia

La operación de raíz cuadrada

La raíz cuadrada es la operación inversa a elevar al cuadrado y consiste en averiguar el número cuando se conoce su cuadrado.

ra�z

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada es exacta, siempre que el radicando sea un cuadrado perfecto.

Raíz cuadrada entera

La raíz cuadrada es entera, siempre que el radicando no es un cuadrado perfecto.

resto

Operaciones combinadas

Prioridades

1º. Efectuar las operaciones entre paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Calcular las potencias y raíces.

3º. Efectuar los productos y cocientes.

4º. Realizar las sumas y restas.

ACTIVIDADES ONLINE

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j1-la-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j100g-l3-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-j801-l5-p0

https://www.thatquiz.org/es-2/?-jg00-l5-p0

Números enteros

Domingo, 1 Octubre 2017

Video

Los números enteros son del tipo:

enteros = {…−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 …}

Es decir, los naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

Valor absoluto

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.

Criterios para conocer el orden de los números enteros.

1. Todo número negativo es menor que cero.

2. Todo número positivo es mayor que cero.

3. De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

4. De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

Suma de números enteros

1. Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y al resultado se le pone el signo común.

2. Si los comandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos (al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número de mayor valor absoluto.

Propiedades

1. Interna:

a + b Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a + b) + c = a + (b + c) ·

3. Conmutativa:

a + b = b + a

4. Elemento neutro:

a + 0 = a

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

Diferencia de números enteros

La resta de los números enteros se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

a - b = a + (-b)

Propiedades

1. Interna:

a − b Pertenece enteros

2. No es Conmutativa:

Mutiplicación de números enteros

El producto de varios números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Regla de los signos

signos

Propiedades

1. Interna:

a · b Pertenece enteros

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa:

a · b = b · a

4. Elemento neutro:

a ·1 = a

5. Distributiva:

a · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

a · b + a · c = a · (b + c)

Cociente de números enteros

El cociente de dos números enteros es otro número entero, que tiene como valor absoluto el cociente de los valores absolutos y, como signo, el que se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

Propiedades

1. No es una operación interna

2. No es Conmutativo:

Ejercicios online 

https://www.thatquiz.org/es-8/?-j10-lc-p0

https://www.vitutor.com/di/e/a_3e.html

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh03-la-p0

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh0c-lc-p0

https://www.thatquiz.org/es-1/?-jh8f-lc-p0

https://www.thatquiz.org/es-o/?-j12-l4-p0

RESUMEN

numeros.jpg

Actividades online:

https://www.matematicasonline.es/primeroeso/fichas/enteros.html 

Examen de números enteros con soluciones:

https://blogsaverroes.juntadeandalucia.es/matematicasenunclic/files/2015/10/EX.UD1_.ENTEROS.3ESOM.SOLUCIONES.201516.pdf

Máximo común divisor y mínimo común múltiple

Domingo, 1 Octubre 2017

Videos

En el examen nos dejan usar la calculadora.

Calculadora online:

http://es.onlinemschool.com/math/assistance/number_theory/nod_nok/ 

Pasos para hacerlo con la calculadora:

https://fjp.es/minimo-comun-multiplo-y-maximo-comun-divisor-con-calculadora/ 

Máximo común divisor

El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente.

Cálculo del máximo común divisor

1. Se descomponen los números en factores primos.

2. Se toman los factores comunes con menor exponente.

Ejemplo

Hallar el m. c. d. de: 72, 108 y 60.

1.

descomposiciones

72 = 2· 32

108 = 2· 33

60 = 2· 3 · 5

2.

m. c. d. (72, 108, 60) = 2· 3 = 12

12 es el mayor número que divide a 72, 108 y 60.

Si un número es divisor de otro, entonces éste es el m. c. d.

El número 12 es divisor de 36.

m. c. d. (12, 36) = 12

Mínimo común múltiplo

Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

Cálculo del mínimo común múltiplo

1. Se descomponen los números en factores primos

2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.

Ejemplo

72 = 2· 32

108 = 2· 33

60 = 2· 3 · 5

m. c. m. (72, 108, 60) = 2· 33 · 5 = 1 080

2160 es el menor número que puede ser dividido por: 72, 108 y 60.

Si un número es un múltiplo de otro, entonces es el m. c. m. de ambos.

El número 36 es múltiplo de 12.

m. c. m. (12, 36) = 36

Relación entre el m. c. d. y m. c. m.

m. c. d. (a, b) · m. c. m. (a, b) = a · b

Ejercicios

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

1428 y 376

428 = 22 · 107

376 = 23 · 47

m. c. d. (428, 376) = 22 = 4

m. c. m. (428, 376) = 23 · 107 · 47 = 40 232

2148 y 156

148 = 22 · 37

156 = 22 · 3 · 13

m. c. d. (148 , 156) = 22 = 4

m. c. m. (148 , 156) = 22 · 3 · 37 · 13 = 5772

3600 y 1 000

600 = 23 · 3 · 52

1000 = 23 · 53

m. c. d. (600 , 1000) = 23 · 52 = 200

m. c. m. ( 600 , 1000) = 23 · 3 · 5= 3000

Calcular el m. c. d. y m.c.m. de:

11048, 786 y 3930

Descomposiciones

1048 = 2· 131

786 = 2 · 3 · 131

3930 = 2 · 3 · 5 · 131

m. c. d. (1048, 786, 3930) = 2 ·131 = 262

m. c. m. (1048, 786, 3930) = 2· 3 · 5 · 131 = 15 720

23120, 6200 y 1864

Descomposiciones

3210 = 2· 3 · 5 · 13

6200 = 2· 5· 31

1864 = 2· 233

m. c. d. (3210, 6200, 1864) = 23 = 8

m. c. m. (3210, 6200, 1864) = 24 ·3 · 5· 13 · 31 · 233 =

= 112 678 800

Un faro se enciende cada 12 segundos, otro cada 18 segundos y un tercero cada minuto. A las 6.30 de la tarde los tres coinciden.

Averigua las veces que volverán a coincidir en los cinco minutos siguientes.

12 = 22 · 3

18 = 2· 32

60 = 22 · 3 · 5

m. c. m. (12 , 18, 60) = 22 · 32 · 5 = 180

180 : 60 = 3

Sólo a las 6.33 h.

Un viajero va a Barcelona cada 18 días y otro cada 24 días. Hoy han estado los dos en Barcelona.

¿Dentro de cuantos días volverán a estar los dos a la vez en Barcelona?

18 = 2 · 32

24 = 23 · 3

m. c. m. (18, 24) =23 · 32 = 72

Dentro de 72 días.

¿Cuál es el menor número que al dividirlo separadamente por 15, 20, 36 y 48 en cada caso dar de resto 9?

m. c. m. (15 , 20, 36, 48) = 24 · 32 · 5 = 720

720 + 9 = 729

En una bodega hay 3 toneles de vino, cuyas capacidades son: 250 l, 360 l, y 540 l. Su contenido se quiere envasar en cierto número de garrafas iguales. Calcular las capacidades máximas de estas garrafas para que en ellas se pueden envasar el vino contenido en cada uno de los toneles, y el número de garrafas que se necesitan.

m. c. d.(250, 360, 540) = 10

Capacidad de las garrafas = 10 l.

Número de garrafas de T 1 = 250 / 10 = 25

Número de garrafas de T 2 = 360 / 10 = 36

Número de garrafas de T 3 = 540 / 10 = 54

Número de garrafas = 25 + 36 + 54 = 115 garrafas.

El suelo de una habitación, que se quiere embaldosar, tiene 5 m de largo y 3 m de ancho.

Calcula el lado y el número de la baldosas, tal que el número de baldosas que se coloque sea mínimo y que no sea necesario cortar ninguna de ellas.

3 m = 30 dm 30 = 2 ·3 · 5

5 m = 50 dm 50 = 2 · 52

A = 30 · 50 = 1500 dm2

m. c. d. (30 , 50) = 2· 5= 10 dm de lado

A b = 102 = 100 dm2

1500 dm2 : 100 dm= 15 baldosas

Un comerciante desea poner en cajas 12 028 manzanas y 12 772 naranjas, de modo que cada caja contenga el mismo número de manzanas o de naranjas y, además, el mayor número posible. Hallar el número de naranjas de cada caja y el número de cajas necesarias.

m. c. d. (12 028, 12 772) = 124

124 naranjas en cada caja.

Cajas de naranjas = 12 772 / 124 = 103

Cajas de manzanas = 12 028 / 124 = 97

Cajas necesarias = 103 + 97 = 200

¿Cuánto mide la mayor baldosa cuadrada que cabe en un número exacto de veces en una sala de 8 m de longitud y 6.4 m de anchura? ¿Y cuántas baldosas se necesitan?

8 m = 80 dm 80 = 2· 5

6.4 m = 64 dm64 = 26

m. c. d. (80, 64) = 24 = 16 dm de lado

A b = 162 = 256 dm2

A = 80 · 64 = 5120 dm2

5120 dm: 256 dm= 20 baldosas

TRUCO 

Si el enunciado del problema nos indica que el número a calcular es menor que los datos hay que hacer el M.C.D.

Si es mayor que los datos hay que calcular el M.C.M

RESUMEN 

Máximo común divisor

El máximo común divisor, m.c.d. de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. El mínimo común múltiplo, m.c.m. Es el menor de todos múltiplos comunes a varios números, excluido el cero.

Números primos y compuestos

Domingo, 1 Octubre 2017

VIDEOS

¿Qué son los números primos?

Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1.

¿Qué son los números compuestos?

Son aquellos números que además de ser divisibles por ellos mismos y la unidad, también son divisibles por otros números.

Vamos a ver un ejemplo de número primo y compuesto:

El 11 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 11, pero no se puede escribir como ninguna otra multiplicación. Solo tiene como divisores el 1 y el 11, por lo tanto es un número primo.

El 12 se puede escribir como la multiplicación de 1 x 12, y también se puede escribir como la multiplicación de 3 x 4, y de 2 x 6. Como 12 es divisible por más números de 1 y el mismo, 12 es un número compuesto.

Tabla de números primos:

Vamos a construir la tabla de números primos hasta el 100.

números compuestos

Vamos a empezar con el 2. El 2 es un número primo pero todos lo múltiplos de 2 serán números compuestos, ya que serán divisibles entre 2. Tachamos de nuestra tabla todos los múltiplos de 2.

El siguiente número primo es el 3, por lo tanto podemos tachar todos los múltiplos de 3, ya que serán números compuestos.

El siguiente número primo es el 5, por lo que tachamos todos los múltiplos de 5.

El siguiente número primo es el 7, así que tachamos todos los múltiplos de 7.

El siguiente número primo es el 11, por lo que tachamos todos los múltiplos de 11, que son el 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, y el 99. Todos estos ya habían sido tachados con anterioridad, por lo que ya hemos terminado de tachar todos los números compuestos de nuestra tabla.

números compuestos

Esta es nuestra lista de números primos del 1 al 100. No es necesario que te los aprendas de memoria, pero si que te acuerdes de los más pequeños, como el 2, 3, 5, 7, 11, 13.

ACTIVIDADES ONLINE

https://www.smartick.es/matematicas/exercise.html?resource=primos-hasta-50 

https://www.smartick.es/matematicas/exercise.html?resource=primos-hasta-200 

RESUMEN 

Los números primos son aquellos que solo son divisibles entre ellos mismos y el 1. Los números compuestos son el resto de números.

Números naturales

Domingo, 1 Octubre 2017

Vídeo:

LOS NÚMEROS NATURALES 

El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …}

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

> 3 flecha 5 es mayor que 3.

< 5 flecha 3 es menor que 5.

Propiedades de la suma

1.Internaa + b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa(a + b) + c = a + (b + c)

3. Conmutativaa + b = b + a

4. Elemento neutroa + 0 = a 

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna: 2 − 5 No perteneceConjunto de los números naturales

2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación

1. Internaa · b PerteneceConjunto de los números naturales

2. Asociativa(a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativaa · b = b · a

4. Elemento neutroa · 1 = a

5. Distributivaa · (b + c) = a · b + a · c

6. Sacar factor comúna · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de la división

1.División exactaD = d · c

2. División entera D = d · c + r

3. No es una operación interna: 2 : 6 No perteneceConjunto de los números naturales

4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0

6. No se puede dividir por 0.

ACTIVIDADES ONLINE 

http://agrega.educa.madrid.org/repositorio/25032010/0e/es_2008050513_0230700/mt07_oa03_es/index.html 

IMPORTANTE 

El cero  es un número natural.

Los pasos a seguir a la hora de hacer las operaciones cuando operamos con varios números naturales es la siguiente:

1º los paréntesis y los corchetes

2º las multiplicaciones y las divisiones

3º sumas y restas 

Resumen 

Los números romanos

Domingo, 1 Octubre 2017

Vídeo:

LOS NÚMEROS ROMANOS

numeros-romanos.jpg

REGLAS DE LOS NÚMEROS ROMANOS: 

Para escribir los Números Romanos, se deben cumplir las siguientes reglas:

   Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de ésta se suma a la anterior.

Ejemplos:    VI = 6;    XXI = 21;    LXVII = 67

   La cifra “I” colocada antes de la ”V” o la “X”, les resta una unidad; la “X”, precediendo a la “L” o a la “C”, les resta diez unidades y la “C”, precediendo a la “D” o la “M”, les resta cien unidades.

Ejemplos:    IV = 4;    IX = 9;    XL = 40;    XC = 90;    CD = 400;    CM = 900

   En ningún número se puede poner una misma letra más de tres veces seguidas.

Ejemplos:    XIII = 13;    XIV = 14;    XXXIII = 33;    XXXIV = 34

   La “V”, la “L” y la “D” no pueden duplicarse porque hay otras letras “X”, “C”, “M” que representan su valor duplicado.

Ejemplos:    X (no VV) = 10 ;    C (no LL) = 100 ;    M (no DD) = 1.000

   Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, ésta restará su valor a la siguiente.

Ejemplos:    XIX = 19;    LIV = 54;    CXXIX = 129

   El valor de los números romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos.

Ejemplos: VI = 6 000; IX = 9 000 000; IV = 4 000 000 000;

ACTIVIDADES ONLINE:

En la siguiente página puedes practicar con los números romanos y comprobar el resultado.

 http://www.elabueloeduca.com/aprender_jugando/juegos/matematicas/practica_jugando_numeros_romanos.php

https://www.cerebriti.com/juegos-de-matematicas/numeros-romanos-del-1-al-5000#.WdAsbmi0PIU 

A TENER EN CUENTA:

No existe el cero en los números romanos.

Es un sistema de numeración no posicional, el valor de las letras siempre es el mismo.

Reglas de los números romanos para imprimir.