Artículos de General

SISTEMAS DE ECUACIONES

Miércoles, 14 Marzo 2018


Más información en la siguiente página, dónde hay muchos ejercicios con las soluciones:
https://www.vitutor.com/ecuaciones/sistemas/sistemas_ecuaciones.html

PROBABILIDAD

Miércoles, 14 Marzo 2018

PROBABILIDAD

La probabilidad es una medida de la certidumbre asociada a un suceso o evento futuro y suele expresarse como un número entre 0 y 1 (o entre 0 % y 100 %).Una forma tradicional de estimar algunas probabilidades sería obtener la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de experimentos aleatorios, de los que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. Un suceso puede ser improbable (con probabilidad cercana a cero), probable (probabilidad intermedia) o seguro (con probabilidad uno).La teoría de la probabilidad se usa extensamente en áreas como la estadística, la física, la matemática, las ciencias, la administración, contaduría, economía y la filosofía para sacar conclusiones sobre la probabilidad discreta de sucesos potenciales y la mecánica subyacente discreta de sistemas complejos, por lo tanto es la rama de las matemáticas que estudia, mide o determina los experimentos o fenómenos aleatorios.

Leyes de Morgan  Las ProposicionesUna proposición es una afirmación que puede recibir un valor de verdad falso (F), o bien verdadero (V), pero no ambos a la vez. Su denotación generalmente la encontramos con las letras (p, q, r)Conectores LógicosPodemos formar nuevas proposiciones a partir proposiciones dadas mediante el uso de conectivos lógicos. Algunos de ellos son:^ “y” conjunciónv “o” disyunción-> “si —, entonces” implicación<-> “si y sólo si” doble implicación¬ “no” negaciónLeyes de MorganSon una parte de la Lógica proposicional, analítica ,y fueron creada por Augustus de Morgan.Estas declaran las reglas de equivalencia en las que se muestran que dos proposiciones pueden ser lógicamente equivalentes.Las Leyes de Morgan permiten:El cambio del operador de conjunción en operador de disyunción y viceversa.Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas a las que se aplican las leyes de Morgan pueden estar afirmadas o negadas (en todo o en sus partes).Casos:¬(P ^ Q) ≡ (¬P v ¬Q)Si nos encontramos con una proposición conjuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva con cada uno de su miembros negados¬(P v Q) ≡ (¬P ^ ¬Q)Si nos encontramos con una proposición disyuntiva totalmente negada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva con cada uno de sus miembros negados(P ^ Q) ≡ ¬ (¬ P v ¬ Q)Si nos encontramos con una proposición conjuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición disyuntiva negada en su totalidad y en sus miembros.(P v Q) ≡ ¬(¬P ^ ¬Q)Si nos encontramos con una proposición disyuntiva afirmada, la ley de Morgan nos permite transformarla en una proposición conjuntiva negada en su totalidad y en sus miembros
Fuente: http://logica-icoubb.blogspot.com.es/2010/07/leyes-de-morgan.html

EJERCICIO:
Una urna tiene ocho bolas rojas, 5 amarilla y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de:
1
Sea roja.

2
Sea verde.

3
Sea amarilla.

4
No sea roja.

5
No sea amarilla. 

Solución:

1
Sea roja.8:20    da  0.4
2
Sea verde.7/20    0.35

3
Sea amarilla.5/20     0.25

4
No sea roja.1-8/20   0.6

5
No sea amarilla.1-5/20     0.75 
captura102.PNG 
 

Perímetro y áreas de figuras planas

Miércoles, 7 Marzo 2018

En la siguiente dirección disponéis de ejercicios online sobre el tema:

https://educacionadistancia.juntadeandalucia.es/profesorado/autoformacion/mod/book/tool/print/index.php?id=304

El perímetro se calcula sumando el valor de cada lado en la figura correspondiente.

3.jpg

Pendiente de una función lineal

Miércoles, 7 Marzo 2018

Ahora que ya sabemos como se busca la pendiente en una función lineal vamos a hacer el siguiente examen:

file:///C:/Users/carmen/Desktop/eso/Examen-Unidad11-2ºA.pdf

Los resultados del examen:file:///C:/Users/carmen/Desktop/eso/Examen-Unidad11-2ºA(Soluciones).pdf

Acordaros que lo más importante es dar valores a x e y , y simplemente aplicar la fórmula.

funcin-lineal-4-728.jpgFuente:http://matematicas11235813.luismiglesias.es/apuntes-y-examenes/examenes-2eso/#.Wp8u9kxFxjo

RECTAS A PARTIR DE DOS PUNTOS

Dadas las coordenadas de dos puntos, también podemos determinar la ecuación de la recta apartir de ellos mediante la siguiente fórmula:

2.jpg

Fuente:https://sites.google.com/site/funcionlineal1/rectas-a-partir-de-dos-pun

En la página anterior tenéis ejercicios para encontrar la función.

Teorema de Thales

Viernes, 23 Febrero 2018

Cuando en geometría hablemos del Teorema de Tales (o Thales) , debemos aclarar a cuál nos referimos ya que existen dos teoremas atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.

x
Tales de Mileto.

El primero de ellos se refiere a la construcción de un triángulo que sea semejante a otro existente ( triángulos semejantes son los que tienen iguales ángulos ).

Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos (los circuncentros se encuentran en el punto medio de su hipotenusa ).

Primer teorema

Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:

Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.

Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :

Dado un triángulo ABC , si se traza un segmento paralelo, B’C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB’C’ , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC .

x

Lo que se traduce en la fórmula

tales001

Hagamos un ejercicio como ejemplo:

En el triágulo de abajo, hallar las medidas de los segmentos a y b .

x

Apicamos la fórmula, y tenemos

tales002

Como vemos, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.

Corolario

Al establecer la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.

tales003

Una aplicación del Teorema de Tales.

Por ejemplo, en la figura de arriba se observan dos triángulos que, en virtud del Teorema de Tales, son semejantes. Entonces, como corolario, el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande.

En virtud del teorema de Tales, ambos triángulos son semejantes y se cumple que:

tales003

Este corolario es la base de la geometría descriptiva.

Ejercicios

1. Las rectas a, b y c son paralelas. Hallar la longitud de x.
x

tales006

2.Las rectas a, b son paralelas. ¿Podemos afirmar que c es paralela a las rectas a y b?
x

, porque se cumple el teorema de Thales .

tales007

Fuentes Internet:     http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teorema_de_Tales.html

En la siguiente página hay ejercicios con solución para practicar el teorema:

http://www.pinae.es/wp-content/uploads/2016/01/EJERCICIOS-RESUELTOS-TEMA-11-2ESO-PUBLICAR-.pdf

 

Teorema de Pitágoras

Viernes, 23 Febrero 2018

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

a2 + b2 = c2

 

Triángulo abc a2 + b2 = c2

Algunos ejemplos:

Terna pitagórica Terna pitagórica Terna pitagórica

 

 Ejemplos de ejercicios resueltos:

Triángulo rectánguloa2 + b2 = c252 + 122 = c2

25 + 144 = 169

c2 = 169

c = √169

c = 13

Triángulo rectánguloa2 + b2 = c292 + b2 = 152

81 + b2 = 225

Resta 81 a ambos lados

b2 = 144

b = √144

b = 12

En la siguiente página tienes ejercicios con la solución para que puedas practicar el teorema.

https://www.matesfacil.com/pitagoras/problemas-resueltos-pitagoras.html

 

TABLAS Y GRÁFICAS

Lunes, 4 Diciembre 2017

En el siguiente enlace podemos iniciarnos en  las tablas y funciones:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/EDAD_1eso_tablas_y_graficas/1quincena11.pdf

En este se  profundiza un poco más:

http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com.es/p/2-eso-tema-10-funciones-y-graficas.html

Para las parábolas o funciones cuadráticas el siguiente enlace:

http://ies.villablanca.madrid.educa.madrid.org/web/departamentos/matematicas/9_Funciones%20cuadr%C3%A1ticas.%20Par%C3%A1bolas.pdf

ESTADISTICA

Domingo, 5 Noviembre 2017

La Estadística es la parte de las Matemáticas que estudia una serie de datos para compararlos y sacar conclusiones.

Población: Es el conjunto total de individuos sobre los que se quiere estudiar unos datos determinados. [Por ej., si queremos estudiar la estatura media de los españoles, la población la constituirán todos los españoles. O si queremos estudiar la nota media de Matemáticas en 2º de
la ESO en el Instituto Severo Ochoa, la población la constituyen todos los alumnos de 2º de ESO del Instituto].

Muestra: Cuando la población es muy grande (por ejemplo, todos los españoles) o difícil de estudiar (por ej., la calidad de las bombillas o la deformación de los coches en un choque) se elige una muestra, que es una parte de la población representativa de la misma, es decir, con unas características similares. Ha de elegirse al azar. [Por ejemplo, para estudiar la estatura de los españoles en la muestra deberíamos incluir a individuos de diferentes edades, de diferente estrato social y económico, de distinto lugar geográfico, de ambos sexos].

Variable estadística: Es el dato o característica que se quiere estudiar. Por ejemplo: la estatura, la calidad de las bombillas, la nota de Matemáticas, etc.

Variable cuantitativa: Es aquélla que estudia algo que se expresa mediante números. Por ej., la estatura, la nota de Matemáticas, etc. Puede ser:

            - discreta, si toma valores aislados (números enteros), como, por ejemplo, el número de hermanos de los alumnos de 2º de ESO. [Los valores de la variable son números enteros; un alumno no puede tener 2,3 hermanos, por ejemplo].

            - continua, si toma todos los valores dentro de un intervalo, como por ejemplo estatura de los alumnos de 2º ESO. [Los valores de la variable pueden ser, por ejemplo, desde 1,50 metros hasta 2 metros de estatura, pudiendo tomar cualquier valor intermedio].

Variable cualitativa: Es aquélla que estudia algo que no puede expresarse por números. Por ej., qué programa de TV se ve más, qué libro de lectura es el preferido por los alumnos de 2º de ESO, etc.

Encuesta: Procedimiento que nos permite obtener los datos para hacer un estudio de ellos (puede ser oral o escrita).

Tablas de frecuencias:

En un estudio estadístico, una vez obtenidos los datos hay que recontarlos, ordenarlos y tabularlos, esto es, colocarlos en tablas en las que se aprecie información sobre las frecuencias de cada valor o cada cualidad de la variable. Por ejemplo, si estamos estudiando las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 2º de la ESO  habríamos de proceder de una forma parecida a la siguiente:

Variable

(Notas)

xi

Frecuencia

(Alumnos)

ni

Frecuencia

relativa

fi

Frecuencia

acumulada

Ni

xi · ni

0

2

0,07

2

0

1

2

0,07

4

2

2

1

0,03

5

2

3

4

0,13

9

12

4

2

0,07

11

8

5

3

0,1

14

15

6

3

0,1

17

18

7

4

0,13

21

28

8

3

0,1

24

24

9

4

0,13

28

36

10

2

0,07

30

20

 

30

1

 

165

De esta forma enseguida veríamos, por ejemplo, que ha habido 3 alumnos que han tenido un 6.

Frecuencia absoluta (ni): número de veces que aparece cada valor (xi) de la variable (p. ej., la frecuencia de la nota 7 en este ejemplo es 4). La suma de todas las frecuencias absolutas es igual al número total de datos (N).

Frecuencia relativa (fi): es el resultado de dividir la frecuencia absoluta entre el número total de datos (N):

La suma de todas las frecuencias relativas es igual a la unidad.

La frecuencia relativa se puede convertir en porcentaje multiplicándola por 100. Así, p. ej., el porcentaje de alumnos que han obtenido un 7 en Matemáticas es del 13 % (0,13 · 100)

Representaciones gráficas:

Para dar a conocer los datos de un estudio estadístico se confeccionan gráficas estadísticas, de las cuales estudiaremos los Diagramas de barras y los Diagramas de sectores.

Diagrama de barras:

Un diagrama de barras consiste en la representación mediante barras de los valores de la variable, con una altura de la barra proporcional a su frecuencia absoluta.

Las barras se colocan en unos ejes de coordenadas: en el eje de las abscisas se ponen los valores de la variable y en el eje de ordenadas su frecuencia.

Se pueden representar variables cualitativas o cuantitativas.

 

Si unimos los puntos medios de los extremos de las barras por una línea obtenemos un polígono de frecuencias, que se utiliza con variables cuantitativas.

 

Diagrama de Sectores:

Un diagrama de sectores consiste en representar los valores o cualidades de la variable en sectores circulares.

La amplitud o área de cada sector ha de ser proporcional a la frecuencia de cada valor (para ello se dividen los 360º de la circunferencia entre el número total de datos, N, para saber cuántos grados corresponden a cada dato, y el resultado se va multiplicando por cada frecuencia absoluta de los respectivos valores de la variable).

Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido éstos: P, V, V, P, O, O, V, V, I, P, I, P, I, O, V, V, V, I, O, P, P, V, V, O, O, P, V, V, V, P. Tabula los datos en una tabla de frecuencias y representa los resultados en un diagrama de sectores.

Variable

(Estación del año)

xi

Frecuencia

ni

Amplitud de sectores

(Para cada dato: 360º : 30 = 12º)

P

8

8 · 12º = 96º

V

12

12 · 12 = 144º

O

6

6 · 12º = 72º

I

4

4 · 12º = 48º

 

30

30 · 12º = 360º

 

            También se utilizan mucho en los medios de comunicación los pictogramas, que consisten en representar los datos con dibujos referidos a la variable que se estudia y de tamaño proporcional a la frecuencia de los valores de la variable.

Parámetros centrales

En muchas ocasiones es poco práctico ofrecer todos los datos obtenidos y lo que se hace es facilitar los que resuman las características que estamos estudiando. Para ello se suelen utilizar los llamados valores centrales, que son: Media aritmética, Mediana y Moda.

Media aritmética:

La media aritmética se calcula sumando todos los valores obtenidos de la variable estudiada y dividiéndolos por el número de datos que haya. La media se representa con la letra x y una rayita encima. Lógicamente, la media sólo se puede calcular con datos cuantitativos.

Ejemplo: Las notas de Matemáticas de un alumno de 2º de ESO en la 3ª evaluación han sido éstas: 7, 6, 5, 8. ¿Cuál es su nota media?

Si los datos los hemos ordenado en una tabla de frecuencias, la media se calcula multiplicando cada valor de la variable por su frecuencia absoluta, sumando los productos obtenidos y dividiendo el resultado entre el número de datos que haya.

Ejemplo: Calcular la media aritmética de las notas de Matemáticas de 30 alumnos (N) de 2º de la ESO que aparecen en esta tabla de frecuencias:

Variable

(Notas)

xi

Frecuencia

(Alumnos)

ni

xi · ni

0

2

0

1

2

2

2

1

2

3

4

12

4

2

8

5

3

15

6

3

18

7

4

28

8

3

24

9

4

36

10

2

20

 

30

165

 

Mediana:

La mediana es el valor que ocupa el lugar del medio, el central, después de haber ordenado todos los datos de menor a mayor.

Si el número de datos es impar, sólo habrá uno en el medio. Si es par, habrá dos que ocupen el lugar central y habremos de hallar la media aritmética de ambos.

Ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 8, 7, 9, 4, 6, 8, 5, 7, 6?

Notas ordenadas: 4, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Me = 7

Otro ejemplo: ¿Cuál es la mediana de las siguientes notas: 6, 5, 8, 3, 9, 6, 5, 7, 7, 8?

Notas ordenadas: 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9.

Me = 6,5

Si los datos están en una tabla de frecuencias, la mediana es el primer valor cuya frecuencia acumulada sea mayor que N/2 , si N es impar.

Ejemplo: Al tirar un dado 15 veces se han obtenido los valores (puntuaciones) de la siguiente tabla. Calcula la Mediana.

 

Variable

(Puntos)

xi

Frecuencia

ni

Frecuencia

acumulada

Ni

1

2

2

2

3

5

3

1

6

4

3

9

5

4

13

6

2

15

 

15

 

El primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada es mayor que 7,5 es xi = 4 (Ni = 9 > 7,5). Por lo tanto:

Me = 4

Si N es par, la mediana será la media aritmética de los primeros valores cuya frecuencia acumulada contenga a

Ejemplo: Al tirar un dado 16 veces se han obtenido los valores (puntuaciones) de la siguiente tabla. Calcula la Mediana.

 

Variable

(Puntos)

xi

Frecuencia

ni

Frecuencia

acumulada

Ni

1

2

2

2

3

5

3

1

6

4

2

8

5

4

12

6

4

16

 

16

 

Como el número de datos es par, N = 16, à

El primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada contiene a 8 es xi = 4 (Ni = 8) y el primer valor de la variable cuya frecuencia acumulada contiene a 9 (8 + 1) es xi = 5 (Ni = 12, que contiene a 9). Por lo tanto:

 

Me = 4,5

Moda:

La moda es el valor que más se repite, que está “de moda”. Por lo tanto, es el valor de la variable que tiene mayor frecuencia absoluta. Hay moda tanto en las variables cuantitativas como en las cualitativas.

Puede haber más de una moda. Si hubiera dos modas, la distribución sería bimodal; si hubiera tres, sería trimodal; y si hubiera más de tres, sería multimodal.

Ejemplo: Se ha preguntado a 30 alumnos de una clase de 2º de ESO qué estación del año preferían: Primavera (P), Verano (V), Otoño (O) o Invierno (I). Los resultados han sido los recogidos en esta tabla:

Variable

(Estación del año)

xi

Frecuencia

ni

P

8

V

12

O

6

I

4

 

30

¿Cuál es la moda?

Respuesta: La moda es Verano (la estación preferida por los alumnos, la que mayor frecuencia absoluta tiene).

FUENTE: http://paramisalumnosdematematicas.blogspot.com.es/p/2-eso-tema-14-estadistica.html

Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Domingo, 5 Noviembre 2017

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones (lineales) que tienen más de una incógnita. Las incógnitas aparecen en varias de las ecuaciones, pero no necesariamente en todas. Lo que hacen estas ecuaciones es relacionar las incógnitas entre sí.

Por ejemplo:

3x+2y=1x

x−5y=6

Se trata de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (x e y).

Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar el valor de cada incógnita para que se cumplan todas las ecuaciones del sistema.

La solución al sistema del ejemplo es

x=1

y=−1

Pero no siempre existe solución, o bien, pueden existir infinitas soluciones. Si hay una única solución (un valor para cada incógnita, como en el ejemplo anterior) se dice que el sistema es compatible determinado.

Fuente:https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.html

convocatoria enero 2014

Domingo, 5 Noviembre 2017

En esta sesión dejaremos sin hacer las preguntas 1B, 6, 8 y 9.

TEOREMA DE TALES

Para comprender el teorema de Tales es importante saber que son los triángulos semejantes.

triángulotriángulo

Dados los triángulos ABC y A’B'C’ determinamos los lados y ángulos homólogos.

Lados homólogos:

a y a’, b y b’, c y c’

Ángulos homólogos:

letras

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos homólogos iguales y sus lados homólogos proporcionales.

ángulos

razones

La razón de la proporción entre los lados de los triángulos se llama razón de semejanza.

Fuente: https://www.ditutor.com/geometria/triangulos_semejantes.html

En la fuente tenéis ejercicios sobre triángulos semejantes.

:::”Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes”:::

Teorema

de

TEOREMA DE PITÁGORAS

El teorema se puede definir en : a² + b² = c² donde “c” es la hipotenusa y “a” y “b” son los catetos del triángulo.

UNIDADES DE LONGITUD

La unidad principal de longitud es el metro.

Existen otras unidades para medir cantidades mayores y menores, las más usuales son:

kilómetro km 1000 m
hectómetro hm 100 m
decámetro dam 10 m
metro m 1 m
decímetro dm 0.1 m
centímetro cm 0.01 m
milímetro mm 0.001 m

Observamos que desde los submúltiplos, en la parte inferior, hasta los múltiplos, en la parte superior, cada unidad vale 10 veces más que la anterior.

Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas.

LA PIRÁMIDE

area-piramide.jpg

PROBABILIDAD

La Probabilidad es la mayor o menor posibilidad de que ocurra un determinado suceso. En otras palabras, su noción viene de la necesidad de medir o determinar cuantitativamente la certeza o duda de que un suceso dado ocurra o no.

Ésta establece una relación entre el número de sucesos favorables y el número total de sucesos posibles. Por ejemplo, lanzar un dado, y que salga el número uno (caso favorable) está en relación a seis casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 y 6); es decir, la probabilidad es 1/6.

La probabilidad está basada en el estudio de la combinatoria y es fundamento necesario de la estadística, además de otras disciplinas como matemática, física u otra ciencia. En ellas se aplica una teoría de probabilidades, la cual tiene como fin examinar las formas y medios para obtener esas medidas de certeza, así como encontrar los métodos de combinarlos cuando intervienen varios sucesos en un experimento aleatorio o prueba.

Cada uno de los resultados obtenidos al realizar un experimento recibe el nombre de suceso elemental. Se llama espacio muestral el conjunto de todos los sucesos elementales obtenidos, de forma que todo subconjunto del espacio muestral es un suceso.