VIVA GAUSS

Los números, esos fieles compañeros que nos acompañan en todos los momentos de nuestra vida. Conocemos muchos tipos de números, ya sea porque los usamos a diario o porque los hemos visto en algún documento libro (o, por qué no, en este blog): los naturales (0, 1, 2, 3,…), los enteros (…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…), los racionales (todo número que puede ponerse en froma de fracción), los irracionales (todo número que no puede ponerse en forma de fracción), los reales (el conjunto de todos los anteriores), los complejos…

Pero podemos calificar a los números de muchas otras maneras. Hay muchas propiedades de los números que hacen que cuando alguno las cumple se le denomine de cierta forma. En este post vamos a ver unas cuantas:

• Número primo: todo número natural mayor que 1 que cumple que sus únicos divisores son el 1 y el propio número. Ejemplos: 2, 3, 5,… Éste es el más grande que se conoce.
• Número compuesto: todo número natural mayor que 1 que no es primo. Ejemplos: 4, 6, 10, …
• Número primo probable: todo número del cual no se sabe si es primo o no pero que verifica alguna condición que verifican todos los números primos
• Número pseudoprimo: todo primo probable que acaba siendo compuesto.
• Número perfecto: todo número natural que es igual a la suma de sus divisores propios (es decir, todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, 6 es un número perfecto ya que sus divisores propios son 1, 2, y 3 y se cumple que 1+2+3=6. Los números 28, 496 y 8128 también son perfectos.
• Número semiperfecto: todo número natural que cumple que es igual a la suma de algunos de sus divisores propios. Por ejemplo, 18 es semiperfecto ya que sus divisores son 1, 2, 3, 6, 9 y se cumple que 3+6+9=18.

• Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
• Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
• Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 220 y 284 son números amigos.
• Números sociables: cumplen lo mismo que los números amigos pero en vez de ir en parejas van en grupos más grandes. La suma de los divisores del primer número da el segundo, la suma de los del segundo da el tercero, y así sucesivamente. La suma de los divisores del último da el primer número de la lista. Por ejemplo los números 12496, 14288, 15472, 14536 y 14264 son números sociables.
• Número apocalíptico: todo número natural n que cumple que 2ⁿ contiene la secuencia 666. Por ejemplo, los números 157 y 192 son números apocalípticos.
• Número ambicioso: todo número que cumple que la secuencia que se forma al sumar sus divisores propios, después los divisores propios del resultado de esa suma, después los del número obtenido…acaba en un número perfecto. Por ejemplo, 25 es un aspiring number ya que sus divisores propios son 1 y 5 y se cumple que 1+5=6, que es un número perfecto.
• Número curioso: todo número natural n que cumple que n² tiene al propio n como última cifra. Por ejemplo, 25 y 36 son números curiosos.
• Número de Carmichael: todo número compuesto n que cumpla que b^n-1 ≡ 1 (mod (n)) (véase Congruencias) .para todo natural b que sea primo relativo con n. Por ejemplo, 561 y 1105 son números de Carmichael.
• Cuadrado: todo número natural que es el cuadrado de otro número natural. Por ejemplo, 9 es un cuadrado ya que 9=3².
• Cubo: todo número natural que es el cubo de otro número natural. Por ejemplo, 125 es un cubo ya que 125=5³.
• Número malvado: todo número natural cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número par de unos. Por ejemplo, y 15 son números malvados ya que 12=1100₂ y 15=1111₂.
• Número feliz: todo número natural que cumple que si sumamos los cuadrados de sus dígitos y seguimos el proceso con los resultados obtenidos el resultado es 1. Por ejemplo, el número 203 es un número feliz ya que 2²+0²+3²=13; 12+32=10; 1²+0²=1.
• Número infeliz: todo número natural que no es un número feliz. Por ejemplo, el número 16 es un número infeliz.
• Número hambriento: el k-ésimo número hambriento es el más pequeño número natural n que cumple que 2ⁿ contiene los primeros k dígitos de Pi. Los primeros números hambrientos son: 5, 17, 74, 144, 144, 2003,…
• Número afortunado: Tomemos la secuencia de todos los naturales a partir del 1: 1, 2, 3, 4, 5,… Tachemos los que aparecen en las posiciones pares. Queda: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,… Como el segundo número que ha quedado es el 3 tachemos todos los que aparecen en las posiciones múltiplo de 3. Queda: 1, 3, 7, 9, 13,… Como el siguiente número que quedó es el 7 tachamos ahora todos los que aparecen en las posiciones múltiplos de 7. Así sucesivamente. Los números que sobreviven se denominan números afortunados.
• Número de Fermat: todo número natural de la forma 2²ⁿ+1 para algún n. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Fermat.
• Número de Mersenne: todo número natural de la forma 2^p-1, siendo p un número primo. Si ese número resulta ser primo se denomina primo de Mersenne.
• Número narcisista: todo número de k dígitos que cumple que es igual a la suma de las potencias k de sus dígitos es un número narceisita. Por ejemplo, 153 es un número narcisita de 3 dígitos, ya que 1³+5³+3³=153.
• Número odioso: todo número cuya expresión en base 2 (binaria) contiene un número impar de unos. Por ejemplo, 11=1011₂ es un número odioso.
• Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
• Número poderoso: todo número natural n que cumple que si un primo p es un divisor suyo entonces p² también lo es. Por ejemplo, el número 36 es un número poderoso ya que los únicos primos que son divisores suyos son 2 y 3 y se cumple que 4 y 9 también son divisores de 36.
• Número oblongo: todo número natural que cumple que es el producto de dos naturales consecutivos. Por ejemplo, los números 30, 42 y 56 son pronic numbers:
• Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
• Número de Smith: todo número natural que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de sus divisores primos contando su multiplicidad (es decir, el número de veces que aparece cada uno de ellos). Por ejemplo, el número 27 es un número de Smith ya que 2+7=9 y su único divisor primo es 3, que aparece tres veces, y por tanto 3+3+3=9.
• Número libre de cuadrados: todo número natural que cumple que en su descomposición en factores primos no aparece ningún factor repetido. Por ejemplo, el número 30 es un número libre de cuadrados.
• Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.
• Número intocable: todo número natural que no es la suma de los divisores propios de ningún número. Por ejemplo, los número 52 y 88 son números intocables.
• Número vampiro: todo número natural para el cual exista una factorización formada por lo dígitos del propio número. Por ejemplo, el número 126 es un número vampiro ya que lo podemos factorizar así: 126=21·6.
• Número raro: todo número natural que es abundante pero que no es igual a la suma de ningún subconjunto de sus divisores propios. Por ejemplo, los número 70 y 836 son raros.

Texto extraido de la página gaussianos.

Hace ya bastante tiempo pudimos ver en El Pito Doble el juego SuPuzzle:

La presentación del juego es la que aparece en la imagen. El objetivo del mismo es conectar cada una de las casas de la fila superior con los tres círculos de la fila inferior si que ninguna de las líneas de conexión corte a otra. En este punto os dejo intentarlo para ver quién es el primero en conseguirlo.

Si representamos cada uno de los iconos (tanto las casas como los círculos) mediante puntos (vértices) y tomamos también las líneas de conexión (aristas) lo que obtenemos es un grafo.

Llamando a los vértices superiores y a los inferiores y representando como a la arista que une el vértice con el vértice obtenemos el grafo conocido como :

Seguís intentando conectar las tres casas con los tres círculos, ¿no? Por intentarlo que no quede, continuad con ello.

Partiendo de que dos aristas de un grafo sólo pueden contarse en un vértice (es decir, que si tenemos dibujados los vértices de antemano dos aristas no pueden cortarse en ningún punto nada más que en ellos) vamos a definir ahora lo que es un grafo plano:

Se dice que un grafo es plano si puede embeberse (algo así como “meterse”) en .

Es decir, un grafo es plano si podemos dibujarlo en un papel sin que ninguna de las aristas corte a otra en un punto que no sea un vértice.

Ahora, antes de dar la solución del juego, vamos a definir otro grafo, :

Es decir, es un grafo que tiene 5 vértices y que tiene como aristas todas las líneas que conectan cada vértice con todos los demás, como podéis ver en la imagen. A este grafo también se le denomina grafo completo de 5 vértices.

Y ahora vamos con la solución del asunto. El matemático polaco Kazimierz Kuratowski demostró lo siguiente (os dejo una versión débil del teorema):

Teorema de Kuratowski:

Un grafo es plano si no contiene como subgrafo a ni a .

Es decir, ni ni son grafos planos (ya que cada uno de ellos se contiene a sí mismo como subgrafo). O lo que es lo mismo, no pueden dibujarse en un papel con la condición de que ninguna arista corte a otra en un punto que no sea desde el principio un vértice.

La demostración de este teorema necesita de ciertos conocimientos previos sobre teoría de grafos relativamente avanzados y es algo complicada, por eso no la adjunto. Yo la conocí en 4º de carrera y la verdad es que me pareció bastante curioso el asunto ya que responde la típica pregunta que mucha gente se hace con las matemáticas: ¿pueden las matemáticas resolver problemas, digamos, tangibles? La respuesta es sí: en este caso las matemáticas nos dicen por qué no podemos realizar ese dibujo con esas condiciones.

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Texto sacado de gaussianos.Imágenes sacadas de Teorema de Kuratowski en la Wikipedia (español).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Noviembre de 2008 | 

Problema propuesto a los alumnos del IES Virgen de Covadonga. Coloca los números del 1 al 16 en los círculos de forma que las dos filas, las dos columnas y las cuatro diagonales sumen 34:

 

Buscando un poco por la red seguro que se puede encontrar el problema resuelto. Lo interesante es intentar resolverlo por uno mismo. Así hasta podemos encontrar varias soluciones distintas (podría haber más de una). Sólo os pido que seáis un poco honrados (sobre todo con vosotros mismos) e intenteis resolverlo por vosotros mismos.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de Septiembre de 2

Inauguramos una nueva categoría en el blog llamada Curvas famosas con esta colaboración de fede enviada a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Espero que os resulte interesante.

Eudoxo de Cnidos

Eudoxo de Cnidos fue un filósofo, astrónomo, matemático y médico griego, pupilo de Platón. Nada de su obra ha llegado a nuestros días; todas las referencias con las que contamos provienen de fuentes secundarias. Nació en Cnido, actualmente en Turquía, sobre el 400 a.C.

Sus aportaciones principales son la invención de la esfera astronómica y aportes para comprender el movimiento de los planetas (en astronomía) y su trabajo de la teoría de la proporción y cálculo de ciertos volúmenes mediante el método de exhaución creado por él mismo (en matemáticas). En este artículo vamos a hablar sobre una curva que él mismo introdujo: la hipopede.

La hipopede de Eudoxo

Supongamos una esfera con centro que gira alrededor de un eje . Sea un punto en esa esfera que gira y sea un punto de intersección de los círculos máximos perpendiculares a y . Si mientras gira la esfera un punto parte de y se mueve por el círculo máximo perpendicular a a la misma velocidad angular que la esfera y en sentido contrario, ese punto describe una curva con forma de 8 en el espacio.

Según cuenta Simplicio, comentarista de Aristóteles del siglo VI, e interpretó Schiaparelli, Eudoxo llamó hipopede a esa curva.

Si es el punto del espacio en que coinciden en su movimiento y , el ángulo es siempre igual al ángulo .

Schiaparelli observó que la hipopede es la intersección de la esfera con un cilindro tangente interiormente a la esfera en el punto y que también es la intersección de la esfera con un cono cuyo eje es tangente a la esfera por y paralelo a , y dio una demostración elemental de estos hechos, pero la prueba que sigue es más sencilla.

Suprimimos el giro de la esfera, pero dejamos que se siga moviendo por su círculo máximo (círculo de la figura), alejándose de . Si al mismo tiempo que sale de salen de dos puntos y moviéndose por el círculo máximo perpendicular a (círculo de la figura) en sentidos opuestos y a la misma velocidad angular que sobre su círculo, el plano en que están , y en cada instante será siempre paralelo al plano tangente a la esfera en .

Ese plano corta a la esfera en un círculo de diámetro y por tanto el ángulo es recto. Entonces el ángulo es complementario del ángulo . Si es perpendicular al plano , el ángulo también es complementario del ángulo , y entonces los ángulos y son iguales.

Pero el ángulo inscrito en el círculo de diámetro es la mitad del ángulo central para el mismo arco, que es el ángulo entre los planos y .

Por tanto el ángulo entre las rectas y es constante. Y como los triángulos , en sus diferentes posiciones, son semejantes, la razón es constante, donde es el pie de la perpendicular desde sobre .

Ahora, si hacemos girar la esfera alrededor del eje a la misma velocidad angular que el punto y en sentido contrario, el punto quedará fijo en el espacio en la posición que ocupaba y el punto describirá la hipopede. Como el ángulo entre y es constante, es generatriz de un cono con eje , y como es constante, el punto describe una curva que es el resultado de aplicar una homotecia con centro a la curva que describe el punto , es decir, describe un círculo. Y como la hipopede se proyecta sobre ese círculo, está en un cilindro.

Como corolario obtenemos que la curva intersección de un cilindro con un cono cuyo eje sea una generatriz del cilindro es una hipopede de Eudoxo y por tanto una curva esférica.

En la reconstrucción por Schiaparelli de la teoría astronómica de las esferas homocéntricas de Eudoxo, el movimiento del planeta sobre la hipopede que producen las dos esferas más interiores (de las 4 que usa para cada planeta) sirve para explicar las retrogradaciones planetarias, es decir los retrocesos transitorios que se observan en las trayectorias de los planetas vistos desde la Tierra moviéndose sobre el fondo de estrellas fijas.