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Platonismo matemático

Publicado por oscarlsv el 9 Octubre 2012

 

¿Es la matemática invención o descubrimiento? Cuando los matemáticos obtienen sus resultados ¿están produciendo solamente elaboradas construcciones mentales que no tienen auténtica realidad, pero cuyo poder y elegancia basta simplemente para engañar incluso a sus inventores haciéndoles creer que estas construcciones mentales son «reales»? ¿O están descubriendo realmente verdades que estaban ya «ahí», verdades cuya existencia es independiente de las actividades de los matemáticos?

Un “descubrimiento“  matemático que parece confirmar el punto de vista platónico es el conjunto de Mandelbrot?… ¿Y eso qué es? Pues un fractal

Un fractal es algo así  como un objeto –en principio real o imaginario-  en el cual su estructura se va repitiendo a diferentes niveles y escalas. Literalmente podemos irnos adentrando en el fractal y los mismos patrones irán apareciendo una y otra vez de manera infinita –algo así como la estructura de un helecho o una coliflor en el que las partes reproducen la forma de la totalidad- .  Existen varios ejemplos y formas básicas de fractales pero quizás la forma más importante y famosa es la que lleva el nombre de quien acuño el término: El Conjunto de Mandelbrot.

Mandelbrot ha puesto a punto una geometría fractal de la naturaleza que permite describir objetos cuya descripción es imposible en términos de las líneas, rectas y arcos suaves de la geometría euclidiana usual. Con objeto de entender por qué es necesaria una nueva geometría consideremos a tres viajeros que recorren la costa de alguna playa: un automovilista que viaja por la carretera que bordea la costa, un peatón que se pasea por la playa siguiendo cada península y bahía a lo largo de la línea marcada por la pleamar, y finalmente una hormiga cuya trayectoria es similar a la del peatón pero que, debido a que es mucho más pequeña que este, puede distinguir y seguir las mas diminutas fluctuaciones de la línea costera.

Es evidente que la distancia que recorre el automovilista es mucho menor que la que recorre el peatón, y que esta, a su vez es mucho más pequeña que la distancia recorrida por la hormiga. Un animal más pequeño que la hormiga, digamos, del tamaño de un grano de arena, seria capaz de detectar y seguir variaciones de la costa que para nosotros serían visibles únicamente a través de una lupa. La distancia que este cuarto viajero tendría que recorrer seria aun mayor que las otras. Si imaginamos viajeros capaces de distinguir imperfecciones cada vez más finas de la línea costara llegaremos a la conclusión de que la longitud de la costa es infinita.

Utilizando esta nueva geometría Mandelbrot ha descubierto un complejo matemático -¿una nueva realidad?- : el conjunto de los puntos c del plano complejo tales que la sucesión {0, f(0), f(f(0)), …, fn(0), …} está acotada cuando n tiende a infinito, siendo f(z) = z2 + c.  El resultado es un conjunto con una enorme riqueza morfológica como podéis observar en el video.

Lo más curioso es que el complejo de Mandelbrot aún tiene zonas “por explorar” que están ahí, esperando que un matemático audaz se adentre en ellas ¿cómo es posible? Desde el punto de vista platónico no tiene nada de extraño, el conjunto de Mandelbrot tiene una existencia independiente de los hombres, independiente incluso de Mandelbrot; su reconocimiento o no  por parte de los matemáticos no afecta a su existencia. El problema es que parece ser que la filosofía de Platón es un residuo de un pasado lejano que está completamente desfasado y superado ¿o no?.

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