ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:

An equation is equality between two algebraic expressions, called members, listed values known data, and unknown or incógnitas, using mathematical operations. Known values can be numbers, coefficients or constant; and also variables whose magnitude is established as a result of other operations. The unknowns, usually represented by letters, are the values to be found. For example, in the equation:

The letter x represents the unknown, while 3 coefficient and the numbers 1 and 9 are constant known. Solve an equation is to find the values of the unknowns to meet, and call solution equation any variable such value that meets the proposed equality. For the given case, the solution is:

1. ECUACIONS POLINÓMICAS ENTERAS

Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.

The polynomial equations are of the form P (x) = 0, where P (x) is a polynomial

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.

The degree of an equation is greater degrees of monomials are its members.

Tipos de ecuaciones polinómicas

1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales

Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.

They are the ax + b = 0 with a ≠ 0, or any other equation in which to operate, transpose terms and simplify adopt this expression.

(x + 1)² = x² - 2

x² + 2x + 1 = x² - 2

2x + 1 = -2

2x + 3 = 0

1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

Son ecuaciones del tipo ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0.

They are the type equations ax ² + bx + c = 0 with a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax² = 0

ax² + b = 0

ax² + bx = 0

1.3 Ecuaciones de tercer grado

Son ecuaciones del tipo ax³ + bx² + cx + d = 0, con a ≠ 0.

They are the type equations ax ³ + ² bx + cx + d = 0 with a ≠ 0.

1.4 Ecuaciones de cuarto grado

Son ecuaciones del tipo ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0, con a ≠ 0.

They are the type equations ax ⁴ + bx ³ + ² cx + dx + e = 0 with a ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.

ax⁴ + bx² + c = 0, con a ≠ 0.

1.5 Ecuaciones de grado n

En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

In general, the equations of degree n are of the form:

a₁xⁿ + a₂x^n-1 + a₃x^n-2 + …+ a₀ = 0

2. ECUACIOMNES POLINOMICAS RACIONALES

Las ecuaciones polinómicas son de la forma  donde P(x) y Q(x) son polinomios.

3. ECUACIONES  POLINÓMICAS IRRACIONALES

Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.

4. ECUACIONES NO  POLINÓMICAS

4.1 Ecuaciones exponenciales

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

4.2 Ecuaciones logarítmicas

Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.

4.3 Ecuaciones trigonométricas

Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.

5.-MÉTODOS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES Tratamos de adivinar el número deshaciendo de forma inversa las operaciones que aparecían en el enunciado. Por ejemplo, si le sale 1700 tenemos la ecuación:

 

Este proceso puede esquematizarse así:

Luego n=7 es la solución de la ecuación 100n+1000=1700. A este método se le llama método de deshacer.
Otro método algebraico para resolver ecuaciones consiste en representar una igualdad por una balanza en equilibrio. Por ejemplo una igualdad numérica como:

estaría representada como:

La ecuación 2x+5=17 se representaría como:

 

Si quito 5 del platillo izquierdo la balanza se desequilibrará. Por tanto, tendré que quitar la misma cantidad en el platillo de la derecha para que se equilibre:

que equivale a:

Luego la balanza estará equilibrada si quito x de la izquierda y 6 de la derecha:

Por tanto x=6 es la solución de la ecuación 2x+5=17

De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de unas situaciones de equilibrio a otras. Si traducimos estos gráficos al lenguaje algebraico tendríamos:

Entonces decimos que 2x+5=17 y 2x=12 tienen la misma solución ( x=6 ).

De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes.

Podemos obtener ecuaciones equivalentes, pues, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas y en las expresiones algebraicas: Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.  Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

Una buena técnica para resolver una ecuación de 1^er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la que la incógnita estuviese despejada.

5.1 Resolución de ecuaciones de primer grado.

Entonces vamos a intentar resolver con este método llamado de transposición las ecuaciones de 1^er grado con una incógnita.

Llamamos ecuación de primer grado con una incógnita a toda ecuación equivalente a otra de la forma: a.x = b con a distinto de cero.

Los pasos a seguir en el método de transposición:

Quitamos paréntesis:

Restamos 8 a cada lado de la ecuación:

el resultado sería:

y dividiendo cada miembro de la ecuación por 2:

Hay ecuaciones en las que pueden aparecer denominadores:

Si quitamos paréntesis:

Para que desaparezcan los denominadores en la ecuación debemos multiplicar los cuatro términos por un número que sea múltiplo de 1,3,4 y 6 a la vez. Uno podría ser 1.3.4.6=72, pero buscamos uno más pequeño para que los cálculos sean más sencillos: el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 1,3,4 y 6:

luego:

Como 12 es múltiplo de cada denominador, la división con cada uno será entera:

Volvemos a quitar paréntesis:

Sumamos términos semejantes:

Transponemos términos:

De nuevo sumamos términos semejantes:

Dividimos por 46:

que es el resultado.

5.2Resolución de ecuaciones de segundo grado

 

La  ecuación: ,  donde a, b y c son números reales y  a¹ 0, se llama ecuación

Considere la ecuación cuadrática:; a0. 

Si , entonces, las raíces son reales y diferentes. 

Si , entonces, las raíces son reales e iguales. 

Si , entonces, las raíces son complejas conjugadas. 
 

5.2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.

Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: 
 

Método 1. Solución por factorización .

Como  toda ecuación  cuadrática es  equivalente a  una ecuación  en la cual uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así: 

Si , , entonces,  la  ecuación   es equivalente a:(1). 

La  ecuación (1)  puede resolverse usando la  propiedad del sistema de los números reales: . 
Método 2. Solución por completación de cuadrados.

Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática. 

Se supone que la ecuación:,con a 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática: 

(1). 

Sumando en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene: 

ó 

Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si ), se obtiene: 
 

, de donde (2).

La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación :  . 
 

Método 3 solución por la formula general

 Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática :  , con a 0 viene dada por : 

(1).

Solución :

La ecuación:  , con a 0 ,es equivalente a la ecuación : 

Sumando ,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene: 

O equivalentemente, 

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b²-4ac >= 0), se obtiene: 

De donde : 
 

(2)

La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación cuadrática : ; con a 0. 
 

6. MATEMATICOS IMPORTANTES

François Viète

François Viète (1540-1603), matemático francés, fue el primero que utilizó letras para designar a las incógnitas y las constantes de las ecuaciones algebraicas. También desarrolló un método para calcular el valor del número pi con un gran número de decimales.

Demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó en sus cálculos las letras minúsculas latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. El término «coeficiente» deriva también de su vocabulario y aparece en uno de sus problemas geométricos.

Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía como en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad.

RENE DESCARTES

En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón.

7.APLICACIONES  IMPORTANTES DE LAS ECUACIONES

   Galileo Galilei (1564-1642) fue el continuador de Copérnico. Perfeccionó el telescopio, que le permitió hacer observaciones con un aumento de 30 veces. Formuló la teoría sobre la caída de los cuerpos: en el vacío caen a igual velocidad.

    Newton formuló la ley de la gravitación de los cuerpos. Isaac Newton, el científico inglés y matemático (entre otras cosas) de los siglos 17 y 18, fue la primera persona en proponer un modelo matemático que describe la atracción gravitacional entre los objetos. Albert Einstein se basó sobre este modelo en el siglo 20 y desarrolló una descripción más completa de la gravedad en su Teoría General de la Relatividad.

    Kepler descubrió que los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Las primeras concepciones del universo eran “geocéntricas” – localizaban la tierra en el centro del universo con los planetas y estrellas girando a su alrededor. Este modelo ptolemeico del universo dominó el pensamiento científico por muchos siglos, hasta que el trabajo de cuidadosos astrónomos como Tycho Brahe, Nicolaus Copernicus, Galileo Galilei y Johannes Kepler suplantó esta visión del cosmos. La “Revolución Copernicana” localizó al sol al centro del sistema solar y a los planetas, incluido el planeta tierra, en la órbita alrededor del sol. Este cambio importante en la percepción sentó las bases para que Isaac Newton empezase a pensar sobre la gravedad y su relación con el movimiento de los planetas.

Sistema Solar

   Estos y otros progresos en la astronomía permitieron rectificar el calendario. El Calendario Juliano, establecido en su tiempo por Julio César, se basaba en un cálculo erróneo del año solar, de modo que el año calendario excedía el año real o solar en 11 minutos y 14 segundos.

  Y otros muchos  más inventos que siguieron a estos desde esos años hasta nuestros días en los que todavía se siguen utilizando.

If you have finished with the activities on the unit try to these exercises.

Repasa y practica con estas actividades de la BBC y juega mientras practicas.

Un número primo es un número que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

El número 1 sólo tiene un divisor, por ello no se considera primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo.

Los números compuestos son aquellos que tienes más de 2 divisores: él mismo, la unidad y otro número como mínimo.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada. Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban su base.

También existe el Teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

Un método para determinar la primalidad de un número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120.

Según la forma de los múmeros primos y los matemáticos que los hayan descubierto distinguimos entre diferentes tipos:

Números primos de FermatNúmeros primos de MersenneOtras clases de números primosPara hallar más fácilmente los números primos y demás operaciones, existen unos criterios, llamados de divisibilidad, que son algoritmos para dividir números de manera exacta:

2	El número termina en cero o cifra par.	378: porque “8″ es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24
7	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.	469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.	52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528.

  

Eratóstenes fue un matemático griego que ideó un algoritmo para encontrar números primos. Se escribe por ejemplo los números naturales del 1 al 100 en una tabla y podemos ir tachando primero todos los números divisibles por 2. Luego tachamos todos los números divisibles por 3, después los divisibles por 5 y así sucesivamente.

Cerca del 200 antes de Cristo, el griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el tamiz de Eratóstenes o Criba de Eratóstenes.

La Criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un número determinado.

Elminamos los múliplos de 2. Después los de el siguiente número que no fue eliminado (3) y así sucesivamente.

Los números resultantes al final son primos.

La conjetura de Goldbach

El resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni apoyar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ninguna excepción (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que . Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un  seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos.

Descomposición factorial de n número:

Para descomponer un número en factores primos lo dividimos por el primer número primo que podamos.

El cociente lo colocamos bajo el número

Si se puede seguimos seguimos dividiendo sucesivamente.

Cuando no podamos dividir dividir por ese número primo, buscamos el más próximo a él por el que se pueda dividir.

Así hasta que el cociente sea 1.

Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c) estaban interesados en los números perfectos.

Además de los números primos, existen los números perfectos, que les interesaban a los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c)

Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en sí mismo. Por ejemplo el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2, y 3 y 1+2+3 es igual a 6.

El número 28 tiene como divisores el 1,2,4,7,y 14 y 1+2+4+7+14 es igual a 28.

Euclides también demostró que si el número 2ⁿ -1 es primo, entonces el número 2 ^n-1 (2 ⁿ-1)

Es un número perfecto.

El matemático Euler más tarde en 1747 pudo demostrar que todos aún los nºs perfectos tienen esta forma.

Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.

Hay diferentes tipos de números:

• Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
• Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
• Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 20 y 284 son números amigos.
• Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
• Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
• Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.

Además de estos, hay otros muchos tipos diferentes, y que se utilizan en diferentes aplicaciones que son más complejas.

Curiosidad: los años bisiestos (años de 366 días) siguen unos criterios de divisibilidad para conocer  cuáles son. En nuestro calendario son bisiestos todos los años divisibles entre 4, pero no entre los múltiplos de 100, exceptuando los de 400.

Decimals

Place value and ordering decimals

Decimal place values

We use a decimal point to separate units from parts of a whole (like tenths, hundredths, thousandths, etc).

0.1 is a tenth, 1/10 of a unit

0.01 is a hundredth, 1/100 of a unit

0.001 is a thousandth. 1/1000 of a unit

In 52.13, the value of the figure 1 is 1/10 , and the value of the figure 3 is 3/100.

Ordering decimals

When ordering numbers, always compare the left digits first.

Eg Which is greater, 2.301 or 2.32?

Units		Tenths	Hundredths	Thousandths
2	.	3	0	1
2	.	3	2

Both numbers have two units and three tenths, but 2.301 has no hundredths, whereas 2.32 has two hundredths. Therefore, 2.32 is greater than 2.301.

Adding a zero

Another way to look at it is to add a zero to the end of 2.32 (this doesn’t change its value as it’s after the decimal point).

The two numbers are now 2.320 and 2.301 and it is quite easy to see that 2.320 is bigger (just as 2 320 is bigger than 2 301).

Questions

Q1. In the number 3.546, what is the value of the figure 4?

Q2. Place the following numbers in order, smallest first: 3.2, 3.197, 3.02, 3.19

Adding and subtracting decimals

When adding and subtracting decimals, remember is to keep the decimal points in line in the question and the answer.

Adding decimals

Question

David is doing some DIY. He buys a 2m length of wood. He needs to cut two pieces of wood - one of length 0.6m and one of length 1.02m.

What is the total length of wood that David needs to cut?

Subtracting decimals

Question

David originally had 2m of wood. What is the length of the piece of wood that is left?

Multiplying decimals by 10, 100 and 1000

Multiplying by 10

When a decimal is multiplied by 10, every figure moves one place to the left.

What is 4.25 x 10? 42.5

Multiplying by 100

When multiplying by 100, every figure moves two places to the left.

Question

Which is bigger: 0.005 × 10 or 0.0004 × 1000?

Dividing decimals by 10, 100, 1000

Dividing by 10

When you divide by 10, every figure moves one place to the right. Hundreds become tens, tens become units, units become tenths and tenths become hundredths.

Dividing a decimal by 10

What is 27 divided by 10?

Dividing by 100

When you divide by 100, every figure moves two places to the right.

Dividing a decimal by 100

What is 27 divided by 100?

Dividing by 1000

When you divide by 1000, every figure moves three places to the right.

Dividing a decimal by 1000

What is 30 divided by 1000?

Multiplying a decimal by a whole number

Multiplying a decimal by a whole number is the same as multiplying two whole numbers. Remember:

If there is one digit after the decimal point in the question, there will be one digit after the decimal point in the answer.

If there are two digits after the decimal point in the question, there will be two digits after the decimal point in the answer.

Question

Calculate:

a) 2.43 × 7
b) 2.4 × 5
a) There were two digits after the decimal point in the question (4 and 3), so you must have two digits after the decimal point in the answer.

b) There was one digit after the decimal point in the question, so you must have one digit after the decimal point in the answer. The answer is therefore 12.0, but this can then be given as 12.

Check that you have a sensible answer by finding an approximate solution.

In the above example you were asked to calculate 2.4 × 5.

2 × 5 = 10, so you are looking for an answer which is slightly bigger than 10. So an answer of 12 seems sensible.

Dividing a decimal by a whole number

Remember to keep the decimal points aligned in the question and the answer.

Example

Work out 4.05 divided by 9

Solution:

Example

Work out 2.4 divided by 5

Solution:

It is sometimes necessary to add a ‘0′ or ‘0’s to the end of a decimal, as in this example (2.40 is the same as 2.4 but the question stays the same)

Multiplying by a number between 0 and 1

The multiplication sign can be replaced by ‘lots of’.

For example,

2 × 3 means 2 lots of 3
6 × 8 means 6 lots of 8

So, 1/2 × 10 means 1/2 of 10
And 1/3 × 12 means 1/3 of 12

When you multiply by a number greater than 1, you get an answer that is greater than the original number. But when you multiply by a number between 0 and 1, the answer is smaller than the original number.

In general:

m × 1/n = m ÷ n

Example

8 × 1/4 = 8 ÷ 4 = 2

20 × 1/5 = 20 ÷ 5 = 4

Dividing by a number between 0 and 1

Imagine that you had 10 bars of chocolate that you wanted to share amongst some children.

If you gave the children 2 bars each, you would have enough for 5 children.
10 ÷ 2 = 5

If you gave the children 1/2 bar each, you would have enough for 20 children.
10 ÷ 1/2 = 20

The pattern

Can you see what’s happening?

10 ÷ 2 = 5

10 ÷ 1/2 = 20

When you divide by a whole number the answer is less than the original number. When you divide by 1/2 the answer (20) is greater than the original number (10).

It’s the opposite of multiplying. When we divide by a number greater than 1, we get an answer that is less than the original number. But when we divide by a number between 0 and 1 the answer is larger than the original number.

So, 10 ÷ 1/2 = 20

Similarly, 10 ÷ 1/3 = 30 and 10 ÷ 1/4 = 40

In general:

m ÷ 1/n = mn

Questions

Q1. What is 10 ÷ 1/7 ?

Q2. Find the value of: 4 ÷ 1/3

BBC

TEST

Play games with decimals.

   1. -   TYPES NUMBERS 

       1.1 Natural numbers.

Natural numbers are numbers used for counting things. Natural numbers are positive (numbers that are more than one). They are 1, 2, 3, 4, 5,6….and so on until infinity.Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3… 

 1.2.- PRIME NUMBERS 

  1.2. 1.-  History of prime numbersLos números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia. Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos.Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primosEl matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar. Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes. Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura.El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización.El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicosLos números de la forma 2ⁿ - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. Los números de la forma 2ⁿ - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto.En 1952 Robinson probó que los números primos de Mersenne son primos utilizando un modelo temprano de ordenador comenzando así la era electrónicaPara el 2005 habían sido encontrados un total de 42 primos de Mersenne. El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría numérica en general y sobre la de primos en particular. Él amplió el Teorema Pequeño de Fermat.Fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando las herramientas del análisis y así fundo el objeto de la Teoría del Análisis Numérico. Él demostró que, sumando los recíprocos de todos los primos que hemos listado, aún en las más poderosas computadoras, solo da un resultado próximo a 4, pero la serie continúa divergiendo a infinito.Otros estudiosos de las matemáticas Legendre y Gauss realizaron exhaustivos cálculos sobre la densidad de los números primos. Gauss (que fue un calculador prodigioso) le dijo a un amigo que siempre que tenía 15 minutos libres los gastaba en contar los primos existentes en un ‘chiliad‘ (rango de 1000 números). Para el final de su vida se estima que había contado todos los primos existentes en un rango de cerca de 3 millones.El Teorema de Números Primos intentaron probarlo y continuaron durante el Siglo XIX, con los notables progresos realizados por Chebyshev y Riemann quien pudo relacionar este problema con algo llamado la Hipótesis de Riemann: un resultado aún sin probar acerca de los ceros en el plano complejo de algo llamado la función-zeta de Riemann.               1.2.2. Prime numbersSo, a prime number only has two factors : the number one and itself. For example: 3, 5,11,17, etc. The first prime numbers lower than 100 are: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67.71,73,79,83.89 and 97.Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.5, 13, 59. El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo. Por tanto 179 es primo.

Una de las cuestiones básicas en la teoría de números es la cuestión de la divisibilidad de un número por otro. Los números enteros que sólo son divisibles por 1 y por si mismos, se llaman números primos. El número de números primos es infinito. El primero que lo demostró fue Euclides, después lo demostraron Euler y Chebichev.

Los números primos son, en cierto modo, como los elementos químicos. A partir de los elementos químicos se forman todos los compuestos químicos y a partir de los números  primos podemos obtener el resto de los números.

             1.2.3. Prime number aplications

El estudio de ciertas clases de primos que, por estar dotados de propiedades especiales, resultan de interés para su uso en los criptosistemas de clave pública y también para la informática.Números primos y criptografía El Teorema Fundamental de la Aritmética es un resultado de existencia. Nos dice que para cada número existe una manera de escribirlo como producto de números primos pero no nos dice cómo hacerlo. Si consideramos un número natural “pequeño”, digamos 3.780, podemos descomponerlo fácilmente en producto de primos haciendo divisiones sencillas:3.780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7. Pensaríamos que esta operación se puede hacer con cualquier número. En general, encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema muy difícil, y no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar, 4 en un tiempo razonable, los divisores primos de un número un poco “grande”. Tanto es así que muchos métodos de codificación de información usan este hecho. Los primeros sistemas de transmisión de mensajes secretos se basaban en el intercambio de una clave entre el emisor y el receptor con un contacto directo previo. Esto, en comunicaciones a grandes distancias no era muy práctico ya que hacía necesario que emisor y receptor se juntasen cada vez que motivos de seguridad obligaban a cambiar la clave. En 1977, Rivest, Shamir  y Adleman,  científicos del MIT   en EEUU,  idearon unesquema de cifrado de clave publica. Según este método, llamado RSA por las iniciales de los apellidos de sus creadores, el receptor hace público un número natural “grande”,      del cual conoce su descomposición en factores primos. Este número es usado por el emisor para cifrar sus mensajes. La idea es que aunque todo el mundo tiene acceso a la clave pública y al mensaje cifrado, éste sólo puede ser descifrado si se conocen los números primos que dividen al número clave. Para que nos hagamos una idea de qué significa “grande”, actualmente  se considera segura una clave pública dada por un número natural de más de 300 cifras. Por supuesto, a medida que evolucionan las capacidades de los ordenadores, la idea de lo que es un número “grande” va cambiando. Por ejemplo, los creadores del esquema RSA predijeron que un mensaje encriptado por ellos usando un número de 129 cifras como clave, tardaría en descifrarse 40 trillones de años. Sin embargo, a principios de los años noventa, mediante la colaboración de 1.600 ordenadores durante 8 meses, se consiguió descifrar. Esto, a pesar del error en las predicciones de sus creadores, más que restar validez, al método RSA, muestra su fortaleza  e ilustra la dificultad de un problema tan aparentemente sencillo como es la descomposición de un número como producto de primos. Estas aplicaciones de los números primos en el campo de la criptografía muestran cómo las Matemáticas más abstractas pueden tener relación directa con actividades tan mundanas como el uso de un cajero automático.    GIMPS En la última década del siglo de la ciencia un avance tecnológico revoluciona el mundo de las telecomunicaciones: Internet. Nacida a partir de una idea del ejército americano apenas 20 años antes, la red de redes pasa rápidamente al ámbito universitario y el fenómeno es entonces imparable. Pronto las instituciones de todo el mundo están conectadas y el número de hogares con acceso a Internet crece de manera exponencial. Con millones de ordenadores conectados entre sí, el siguiente paso natural en la búsqueda de primos-récords es la colaboración en Internet. George Woltman, programador y entusiasta de la teoría de números, empieza a finales de 1995 a recopilar toda la información existente relativa a los primos-récords. También crea un programa optimizado para la búsqueda de primos de Mersenne y lo cuelga en la red. Asíempieza el proyecto GIMPS. La idea es que colaboradores de todo el mundo operen sobre una base de datos central. La automatización final del proceso de participación es realizada a finales de 1997 por Scott Kurowski. Desde entonces, basta con un ordenador personal y un modem para participar en la histórica búsqueda de los números primos. No hay más que conectar con la página WEB de GIMPS y descargar el software necesario. Automáticamente, la base de datos central te asigna una serie de cálculos. Esta tarea la realiza el ordenador con los recursos que no están siendo utilizados en cada momento, no interfiriendo así en su actividad normal. Una vez obtenidos los resultados, el mismo ordenador contacta automáticamente con la base de datos central, actualizándola. Si  el  ordenador no  está conectado  continuamente  a Internet,  espera  aestar conectado para hacer la trasferencia de datos. Esto hace posible el uso de los nuevos resultados por otros colaboradores. Así, desde 1996, los cinco números que han ostentado el récord del número primo más grande conocido han sido primos de Mersenne obtenidos por 7.

        1.3. - COMPOSITION NUMBERS A composite number has more than two factors. For example: 4, 9 , 15, 30, etc. 

Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.

 Factorizar un númeroPara factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.432 = 2⁴ · 3³   2. -

IMPORTANT MATHEMATICIANS 

2.1.- Eratostenes. Eratóstenes nació en Cirene, ahora llamada Shahat en el Norte de Africa, en Libia. Estudió luego en Atenas lo que sería un antiguo equivalente a una formación universitaria. Cuando tendría unos treinta años fue llamado a Alejandría por el rey Ptolomeo III Evergertes, probablemente por recomendación del poeta Calimaco, también natural de Cirene, que trabajaba en la Biblioteca. Fue tutor del príncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvo siempre una cercana relación con la casa real.   Eratóstenes fue uno de los más notables eruditos de su tiempo, con actividades intelectuales muy variadas. Trabajó en geografía, astronomía, matemáticas, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria y también fue poeta. Sus compañeros le llamaban el “pentalos”, el atleta capaz de tomar parte en cinco pruebas distintas. Probablemente porque trabajó en tantos campos, se le llamada también el “beta”, lo cuál se puede interpretar como que una persona que ocupa su tiempo en demasiadas cosas no puede ser excelente en cada una de ellas. Sin embargo fue un estudioso realmente brillante y uno de los grandes sabios de la antigüedadPero, Erastótenes  es muy conocido por su descubrimiento en matemáticas de la “Criba de Erastótenes”Como matemático le debemos principalmente la llamada “criba” para encontrar números primos y un instrumento mecánico para hallar la duplicación del cubo. Escribió Platonicos, donde explica nociones matemáticas relacionadas con la filosofía de Platón, tales como proporciones, progresiones y teoría de escalas musicales. Aunque perdida, nos han llegado algunas de sus partes a través del matemático pitagórico Teón de Esmirna (70-135). Escribió también Sobre las medias, texto de geometría que aparece citado en Papo, sobre ciertos lugares geométricos.   El problema de los bueyes, enviado por Arquímedes a Eratóstenes “para que sea resuelto por aquellos de Alejandría que se ocupan de estos problemas”, es un problema aritmético que se puede plantear en términos de ecuaciones diofánticas. Esencialmente requiere “determinar el número de bueyes del dios Sol que pacían en la isla de Trinaquia (Sicilia)”. Parece sugerido por La Odisea de Homero donde se dice “Entonces llegarás a la isla de Trinaquia, donde en gran número pacen bueyes y gruesas ovejas del dios Sol”.
Criba de Eratóstenes. Es un sencillo método para hallar números primos y aparece descrita en Introductio Arithmetica de Nicómaco de Gerasa (60-120). Consiste en hacer una tabla de números naturales sucesivos. Empezando con el 2 que es primo, vamos tachando de la lista todos los múltiplos de 2. El primer número que no está tachado es el 3, que es primo. A partir de él vamos tachando todos los múltiplos de 3. El siguiente número que no aparece tachado es el 5, que es primo. A partir de él vamos tachando los múltiplos de 5. Ahora el primer número que no aparece tachado del principio de la lista, el 7 en este caso, tiene que ser primo ya que de haber tenido un divisor lo habríamos tachado ya. Seguimos pues tachando los múltiplos de 7, de siete en siete. Y así sucesivamente. Los números que van quedando de la lista sin tachar son primos.  

3.2.- GOLDBACH  

   El 7 de Julio 1742, Chistian Golbach, profesor de An Petesburgo que acabó en Moscçui como tutor de la familia del zar Pedro II, escribe una carta a Euler donde le comenta que, a pesar de no haber encontrado una demostración, está seguro de que todo número natural mayor o igual que 6 se puede escribir como suma de tras números primos. Euler le contesta que el resultado es equivalente a que todo número natural par mayor o igual que 3 es la suma de dos primos. Este último enunciado es el que pasa a la historia con el nombre de Conjetura de Goldbach, uno de los problemas abiertos más famosos de las Matemáticas. No se duda de su veracidad, como además sugieren los cálculos hechos con algunos de los ordenadores más potentes, pero nadie ha sido capaz de dar una demostración general. El último avance en la comprobación directa del resultado                mediante ordenador asegura que el resultado es cierto para todo número par hasta 400 billones. Otra de las conjeturas más interesantes es la relativa a la cantidad de números primos gemelos. Dos números primos p y q se dice que son gemelos si p = q + 2 . Como Ningún número primo puede ser par, dos primos son gemelos si están todo lo cerca que dos primos pueden llegar a estar. Primos gemelos son, por ejemplo, las parejas (17,19), (29,31) y (1.000.000.000.061, 1.000.000.000.063). La Conjetura de los primos gemelos dice que hay infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esta afirmación parezca muy similar al resultado que hemos demostrado sobre la existencia de una cantidad infinita de números primos, todavía nadie ha sido capaz de determinar si es cierta o no. Esta conjetura puede sugerir que los primos se encuentran cerca unos de otros. Sin embargo, es fácil ver que hay listas de números naturales consecutivos no primos de cualquier  longitud. El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n como la suma dos números primos .  

La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Su enunciado es el siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

(Se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Por ejemplo, 8=3+5

Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.

Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 2×10¹⁶. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más “probable” que pueda ser escrito como suma de dos números primos.

    Andrea Díaz García                        1º ESO B                                           Nº  5

CONCEPT OF A FRACTION

If you cut a cake into two equal pieces and eat one of them, you have eaten ¹/₂ (half) a cake.

If a cake is cut into five equal pieces and you eat three of them, you have eaten ³/₅ (three fifths) of a cake.

¹/₂ and ³/₅ are examples of fractions - parts of a whole.

HOW TO READ FRACTIONS

To read a fraction in English you have to read the numerator and then the denominator with the ordinal. You can use plural if you have more than one part. For example, 1/3 is one third but 2/3 is two thirds. When the denominator is 2 you have to read “half”, 1/2 is one half, 5/2 is five halves. If the fractions is very big you can use “over”, 4/11 is four over eleven.

Equivalent fractions

Cutting the cake into six equal pieces and eating two is equivalent to cutting the cake into three equal pieces and eating one. You eat the same amount of cake in both cases.

Question

If the cake is cut into 12 equal pieces, how many will we have to eat in order to have the equivalent of 1/3 of the cake?

Common factors and simplest form

Common factors

The factors of a number are those numbers that divide into it exactly.

Numbers have common factors if the same number divides into both of them.

So 4 is a common factor of both 8 and 12, as it divides into both of them. 2 is a common factor of both 2 and 6, as it divides into both of them.

Simplest form

You know that ⁴/₁₂ = ²/₆ = ¹/₃

4 and 12 have a common factor (4), so ⁴/₁₂ can be written as ¹/₃ (divide the top and the bottom by 4).

2 and 6 have a common factor (2), so ²/₆ can be written as ¹/₃ (divide the top and the bottom by 2).

However, 1 and 3 have no common factors, so ¹/₃ cannot be simplified. When a fraction cannot be simplified we say that it is its simplest form.

Mixed numbers and improper fractions

A whole number can be written as ²/₂, ³/₃, ⁴/₄, etc.

So 1 ²/₃ can be written as

³/₃ + ²/₃ = ⁵/₃

Mixed numbers

1 ²/₃ is known as a mixed number, because it is made up of a whole number and a fraction.

Improper fractions

⁵/₃ is called an improper fraction, because the top number is bigger than the bottom number.

Converting from a mixed number to an improper fraction

You can write the whole number part as a fraction, then add the fractions together.

1 ²/₃ = ³/₃ + ²/₃ = ⁵/₃

Here is another example:

2 ¹/₄ = 1 + 1 + ¹/₄ = ⁴/₄ + ⁴/₄ + ¹/₄ = ⁹/₄

Converting from improper fractions to mixed numbers

You can separate out the fraction into smaller fractions, like this:

¹⁷/₅= ⁵/₅ + ⁵/₅ + ⁵/₅ + ²/₅ = 3 ²/₅

Another way to convert an improper fraction is to find how many whole numbers you get, by using a division.

For example let’s convert ¹⁷/₅ to a mixed number again.

We start by dividing the top number by the bottom number.
17 divided by 5 is 3 remainder 2.
So the whole number part is 3, and the remainder 2 means there are ²/₅ left over.

So the answer is ¹⁷/₅ = 3 ²/₅

Question

Write ²⁰/₇ as a mixed number.

Ordering fractions

Which fraction is bigger, ³/₄ or ⁵/₇ ?

It is hard to answer this question just by looking at the fractions. However, if you write the fractions with the same bottom number, the question will be easy.

³/₄ has a denominator of 4, and ⁵/₇ has a denominator of 7.

4 and 7 both divide into 28, so rewrite the fractions with a denominator of 28.

³/₄= ²¹/₂₈

⁵/₇= ²⁰/₂₈

It is easy to see that ²¹/₂₈ is bigger than ²⁰/₂₈.

Therefore ³/₄ is bigger than ⁵/₇.

To compare fractions, first write them with the same number at the bottom.

Adding and subtracting

It is hard to picture what the answer is if you add ¹/₂ and ¹/₃. Rewriting the fractions with a common bottom number (in this case, 6) makes it easier to see the answer.

Remember: You can only add and subtract fractions when the bottom numbers are the same.

So to add or subtract fractions:

1. Change the fractions so they have the same bottom number.
2. Add or subtract the top numbers.

Example

¹/₂ + ¹/₃ = ³/₆ + ²/₆ = ⁵/₆

⁷/₁₀ - ²/₅ = ⁷/₁₀ - ⁴/₁₀ = ³/₁₀

Question

What is ¹/₄ + ¹/₃ = ?

Multiplying fractions

¹/₂ of ¹/₂ = ¹/₂ × ¹/₂ = ¹/₄

²/₃ of ⁴/₅ = ²/₃ × ⁴/₅ = ⁸/₁₅

Multiply the top and bottom numbers then simplify where necessary.

Question

Calculate ³/₄ × ²/₅ = ?

Dividing fractions

When you divide 10 by 2, you are working out how many 2’s there are in 10.

10 ÷ 2 = 5, so there are five 2’s in 10.

In a similar way, when dividing 2 by ¹/₂, you are working out how many ¹/₂’s there are in 2.

There are four ¹/₂’s in 2, so 2 ÷ ¹/₂ = 4.

If you divide 1 ¹/₂ by ¹/₄ you are working out how many ¹/₄’s there are in 1 ¹/₂ .

There are six ¹/₄’s in 1 ¹/₂, so 1¹/₂ ÷ ¹/₄= 6.

Do you see a pattern? Let’s write out those calculations a different way.

• 2 ÷ ¹/₂ = 4 so 2 ÷ ¹/₂ is the same as 2 × 2
• 1¹/₂ ÷ ¹/₄ = ³/₂ ÷ ¹/₄ = 6
  so ³/₂ ÷ ¹/₄ is the same as ³/₂ × 4 = ¹²/₂ = 6

Remember: To divide fractions, turn the second fraction upside down, then multiply.

Question

Calculate ³/₄ ÷ ⁴/₅

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APUNTES DEL TEMA 2

1.- MULTIPLES AND FACTORS

1.1.- Concept of multiple.

1.2.- Concept of factor.

1.3.- The properties of multiples and factors.

 

2.- PRIME AND COMPOSITE NUMBERS

A prime number only has two factors: the number one and itself. For example: 3, 5, 11, 17, etc. A composite number has more than two factors. For example: 4, 9, 15, 30, etc.

3.- DIVISIBILITY RULES

Las reglas de divisibilidad te ayudan a saber si un número es múltiplo de otro sin hacer la división.

• Rule of number 2: A number is divisible by 2 if its last digit is either 0 or an even number. Un número es divisible por 2 si su última cifra es 0 ó un número par. Example: 46,200, 34, 108…..
• Rule of number 3: A number is divisible by 3 if the sum of its digits is a multiple of 3. Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3. Example: 45, 105, 300, 417….
• Rule of number 4: A number is divisible by 4 if its two last digits are multiples of 4. Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras son múltiplo de 4. Example: 100, 224, 340, 664….
• Rule of number 5: A number is divisible by 5 if it ends in 0 or 5. Un número es múltiplo de 5 si acaba en 0 ó 5. Example: 200, 345, 650, 800 …..
• Rule of number 9: A number is divisible by 9 if the sum of its digits is a multiple of 9. Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Example: 81, 333, 450, 1278…..
• Rule of number 10: A number is divisible by 10 if it ends in 0. Un número es divisible por 10 si acaba en 0. Example: 30, 400, 500.
• Rule of number 11: A number is divisible by 11 if the difference between the sum of the digits on odd positions and the sum of the digits on even positions is 0, 11 or a multiple of 11. Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en posición par y la suma de las cifras en posición impar es 0, 11 o un múltiplo de 11. Example: 121, 3652

Solve the following exercises:

• Use the divisibility rules to complete the following table:

Divisible by	2	3	4	5	9	10	11	25	100
375
990
1.848
12.300
14.240

• Find out two numbers with five digits that are divisible by both 2 and 5 and aren’t divisible by 100
• Write down two numbers with five digits that are multiples of:

a) 3 and 11 but not of 9

b) 9 and 11. Are they multiples of 3?

4.- PRIME FACTOR DECOMPOSITION OF A NUMBER

5.- THE HIGHEST COMMON FACTOR AND THE LEAST COMMON MULTIPLE

5.1.- Concept of the highest common factor (HCF)

Definition:

The highest common factor of several numbers is the largest number that evenly divides into all of them.

10.2.- Rule for calculating the h.c.f

Regla:

“To work out the hcf of several numbers, first you have to find the prime factor decomposition of the given numbers and then, to take the common factors with the least index”.

Solve the following exercises:

• Work out the factors of the numbers below and then find out the hcf:

a) 2 and 16                     b) 3 and 25                  c) 9, 12 and 18               d) 27, 36 and 63

• Find out the hcf of the following numbers using the Spanish and the English methods:

a) 4, 6, 18 and 32                    b) 3, 4, 12, 36 and 48

5.3.- Concept of the least common multiple (lcm)

Definition: The least common multiple of several numbers is the smallest number that is multiple of all of them.

5.4.- Rule for calculating the lcm

Regla:

“To work out the lcm of several numbers, first write them as a product of their prime factors and then take the common and non-common factors with the highest index.”

Solve the following exercises:

• Work out the l.c.m. of the numbers below:

a) 9, 12 and 18            b) 27, 36 and 63

• Work out the l.c.m. of the following numbers. What conclusion do you reach?

a) 2, 4, 8 and 16          b) 3, 4, 6 and 12.

• Do this test, don´t copy anything.  Call your teacher once you have finished your test:

Juega con las matemáticas:

1.-The decimal numeral system.

1.1.-The natural number set.

Natural numbers are the naumbers used for counting things. Natural numbers are positive numbers (numbers taht more than 0). They are 1, 2, 3, 4, … and so on until infinity. Natural numbers have two main purposes: you can use them for counting and for ordering. Mathematicians use N to refer to the set of all natural numbers.

Natural numbers are also called Counting Numbers. In Spanish they are called números cardinales if they are used for counting or números ordinales if they are used for ordering.

1.2.-The decimal numeral system.

Un sistema de numeración es el conjunto de reglas y símbolos que hacen posible la representación de números.

The Sumerians were the first people with a numeral system. Since then, Egyptians, Mayas, Romans, etc. have had their own numeral system. But around 773, a positional system began in India. Then Indian system transmitted to Europe by Arabs, so it was

Nuestro sistema de numeración es decimal y posicional. Usa diez símbolos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y además, el valor de cada cifra depende de su posición. Por ejemplo, en el número 21.320, el primer 2 tiene una valor de 20.000 unidades, sin embargo el último 2 tiene un valor de 20 unidades.

Definition:  Our numeral system is a decimal and a place-value notation system. It is decimal because it is formed with ten symbols and it is positional because the value of each digit depends on the position in the number.

En el sistema decimal cada posición representa una potencia de 10. Así, empezando por la derecha, la primera posición equivale a 1 unidad, la segunda a 10 unidades, la tercera a 100, etc. Cada posición recibe un nombre en función de su valor:

Exercise: Write a number with 8 digits over the lines and translate the following words:

___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

                                                                   Units or Ones:__________
                                                                   Tens : __________
                                                                   Hundreds: ___________
                                                                   Thousands:_____________
                                                                   Ten thousands: __________
                                                                   Hundred thousands: ______
                                                                   Millions:_______________
                                                                   Ten millions: ___________

Un número puede descomponerse en suma de productos que expresen el valor de cada una de sus cifras en función de su posición o al revés:

Solved example:

1.- Write the number 12.034.152 as an addition

12.034.152 = 1×10.000.000 + 2×1.000.000 + 3×10.000 + 4×1.000 + 1×100 + 5×10 + 2×1=

In Spanish: 1 Decena de Millón + 2 Unidades de Millón + 3 Decenas de Millar + 4 Unidades de Millar + 1 Centena + 5 Decenas + 2 Unidades

In English: 1 Ten Millions + 2 Millions + 3 Ten Thousands + 4 Thousands + 1 Hundreds + 5 Tens + 2 Units

2.- Find out the number represented by 3 Millions + 3 Hundred Thousands + 12 Thousands +35 Tens + 2 Units.

Hay dos formas de hacer este ejercicio:

Calculando el valor de cada cifra según su posición y sumando:

3 Millions = 3 x 1.000.000 =                3.000.000

3 Hundred Thousands = 3 x 100.000 = 300.000

12 Thousands = 12 x 1.000 =                     12.000

35 Tens = 35 x 10 =                                           350

2 Units = 2 x 1 =                                                      2

                                                                    3.312.352

Dibujando líneas con los nombres de las posiciones y colocando las cantidades una por una. Si una cantidad tiene más de una cifra entonces hay que escribirla empezando en su correspondiente posición pero hacia la izquierda.

___ ___ ___ . ___ ___ ___. ___ ___ ___
HM  TM  UM    HT   TT   UT      H      T     U

Solve the following exercises:

1A.- Write the numbers below as an addition in English and in Spanish like the solved example above.

            a) 12.004.23;                                                        b) 103.245.023;

2A.- Find out the numbers which are formed by the following values:

a) 13 Unidades de Millón + 52 Unidades de Millar + 3 Centenas + 24 Unidades =

b) 12 Centenas de Millón + 124 Decenas de Millar + 34 Decenas + 5 Unidades =

c) 2 Thousand Millions + 3 Millions + 5 Ten Thousands + 2 Thousands + 3 Hundreds + 5Units=

d) 3 Hundred Millions + 12 Millions + 134 Hundreds + 12 Units =

1.3.- Representation and ordering

The natural numbers can be represented on a half line (semirrecta) (line with a fixed beginning and with no fixed ending) that begins with zero and which is divided in equal segments.
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Esta representación puede usarse para ordenar los números. Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la semirrecta.
To compare two numbers, we can use three symbols: > (greater than: mayor que), = (equal to: igual a) ; < (less than: menor que).

Solve the exercise:

3A.- Put the corresponding symbols between the following numbers:
5 ___ 7 1003 ____1030 10020 ___10200 9898____ 9799

2.- READING AND WRITING NUMBERS

2.1.- Describing a number in words.

Para leer un número la forma más fácil es usar los separadores de miles cada tres cifras empezando por el final. Después nombraremos los puntos (mil, millón, mil, billón, etc.). Para leer el número iremos leyendo cada grupo de tres cifras y a continuación el nombre del punto.

Solved example:

3.- Describe in words the number 12.045.235.003.134:

· Primero nombraremos cada uno de los puntos del número:

12.045.235.003.134

Billion     Thousand        Million    Thousand

  Billón                  Mil         Millón                 Mil

· Ahora leeremos cada grupo de tres números y después el nombre del punto:
Twelve billion forty five thousand two hundred and thirty five million three thousand one hundred and thirty four.
Doce billones cuarenta y cinco mil doscientos treinta y cinco millones tres mil ciento treinta y cuatro.
(Note: In English, numbers are written using commas instead of dots.
Example: 12,045,235,003,134)

Solve the exercise:

4A.- Describe the following numbers in words, in Spanish and in English:

a) 34.000.340.02: b) 3.004.000.123.004:

c) 12.005.000.012.300: d) 373.005.000.000.345

2.2.- Writing an amount in figures:

Para escribir una determinada cantidad en cifras numéricas subraya todas las palabras que hagan referencia al nombre de un separador de miles (millón, mil, etc.). Escribe los puntos separados por un espacio, deberás de empezar por el mayor que aparezca y escribirlos todos hasta llegar al separador de mil. Por último escribe entre los puntos los grupos de números completando hasta tres cifras en cada caso.

Solved example:

4.-Write ten billion one hundred thirteen million two thousand twenty three in figures:

· Primero subrayaremos todas las palabras que hagan referencia a mil, millón, billón, etc:
ten billion one hundred thirteen million two thousand twenty three
diez billones ciento trece millones dos mil veintitres

· Ahora tenemos que escribir empezando por el mayor.(Hay que escribirlos todos aunque no se nombren en el número)

. . . .

Billion Thousand Million Thousand

Billón Mil Millón Mil

· Tenemos que escribir las cantidades entre los puntos, siempre completando con ceros para que haya tres cifras entre cada dos puntos:
                                                                10.000.113.002.023

Solve the exercise:

5A.- Write the following amounts in figures:
a) Cuarenta billones tres mil millones ciento cuarenta mil.
b) Trece billones, doscientos mil tres millones ciento doce mil cuatro.
c) Twelve billion two hundred and forty thousand million three hundred thousand and five.
d) Four billion twenty seven thousand two million five thousand three hundred and fifteen.
e) Fifteen billion forty five thousand three hundred and twenty four, six million and two hundred.

3.- OPERATIONS WITH NATURAL NUMBERS

3.1.- Addition

Adding is the same as putting together or joining two values into one. Es reunir, juntar, añadir. We read 3 + 5 = 8 like: “Three plus five is equal to eight” or “Three plus five equals eight” or “Three plus five is eight”. Terms in the addition are called addends and the result is called the sum. In Spanish the addends are the sumandos.

Solved Example:

5.- The library has lent 45 books last Monday, 50 books on Tuesday and 73 books on Wednesday.
How many books have they lent?
45 + 50 + 73 = 168 books. Answer: They have lent 168 books.

3.2.- The properties of addition.

The properties are the closure, commutative, associative, and additive identity:
Closure property: Addition of two natural numbers is always another natural number. For example 6 + 7 = 13
Commutative property: When two natural numbers are added, the sum is the same regardless of the order of the addends. a+ b = b + a. For example 4 + 2 = 2 + 4
Associative Property: When three or more natural numbers are added, the sum is the same regardless of the grouping of the addends. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c). For example (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
Additive Identity Property: The sum of any natural number and zero is the original number. For example 5 + 0 = 5.

Exercise : (Try to translate the properties into Spanish)

Ley de Composición interna: ________________________________________________________________ Propiedad Conmutativa:
________________________________________________________________ Propiedad Asociativa:
________________________________________________________________ Elemento neutro:
________________________________________________________________

 3.3.- Subtraction of natural numbers.

Subtracting is removing or taking away some objects from a group. Es quitar, eliminar. We read 13 – 7 = 6 like: “Thirteen subtract seven equals six” (sometimes you can see “thirteen take away seven equals six” but it is better to use the first expression. The terms of subtraction are called minuend and subtrahend, the outcome is called the difference.

The minuend is the first number, it is the number from which you take something and it must be the larger number. In Spanish it is called minuendo.
The subtrahend is the number that is subtracted and it must be the smaller number. In Spanish it is called sustraendo.
The difference is the result of the subtraction. In Spanish it is called diferencia.
To check if the subtraction is correct we add up the subtrahend and the difference. The outcome must be the minuend.

Prueba de la resta:
Minuend = Subtrahend + Difference;
And in Spanish: Minuendo = Sustraendo + diferencia

Solved example:

6.- We have saved 3520 euros but we have spent € 745 on a computer. How much money is left?
                         3520 – 745 = 2775.
Answer: 2775 euros is left.

3.4.- Multiplication

Multiplying is doing an addition of equal addends. Es hacer una suma de sumandos iguales.
                 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 3 x 5 = 15
We read 3 x 5 = 15 like: “Three times five equals fifteen” or “Three times five is fifteen.” The factors are the numbers that are multiplied together. The product is the result of multiplying.

Solved Example:

7.- In my living-room I have a bookcase with three shelves.  If there are five books on each shelf, how many books are there?
                                                                   5 x 3 = 15
Answer: I have 15 books in my bookcase.

3.5.- The properties of multiplication

The properties are the closure, commutative, associative, and additive identity.

Closure property: Multiplication of two natural numbers is always another natural number.For example 6 x 7 = 42
Commutative property: When two numbers are multiplied together, the product is the same regardless of the order of the factors. For example 4 x 2 = 2 x 4
Associative Property: When three or more numbers are multiplied, the product is the same regardless of the grouping of the factors. For example: (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4)
Multiplicative Identity Property: The product of any number and one is that number. For example 5 x 1 = 5.

Definition : (Try to translate the properties into Spanish)

Ley de Composición interna: ________________________________________________________________ Propiedad Conmutativa:________________________________________________________________ Propiedad Asociativa:________________________________________________________________ Elemento neutro:________________________________________________________________

3.6. Division

Dividing is to share a quantity into equal groups. Es repartir en partes iguales. It is the inverse of multiplication. In Spanish we write 6 : 2 , but in English it is always 6 ÷ 2 and never with the colon (:).
We read 15 ÷ 5 = 3 like: “Fifteen divided by five equals three”.
There are four terms in a division: dividend, divisor, quotient and remainder:
The dividend is the number that is divided. In Spanish is dividendo.
The divisor is the number that divides the dividend. In Spanish is divisor.
The quotient is the number of times the divisor goes into the dividend. In Spanish is cociente.
The remainder is a number that is too small to be divided by the divisor and in Spanish is called resto.

Solved Example:

8.- There are 72 sweets in a bag. If we want to distribute them to 12 children, How many sweets are there for each child?
                                                        72 : 12 = 6
Answer: Six sweets for each child.

La división puede ser:

a) Exacta: Tiene resto cero.

b) Entera: Tiene resto distinto de cero.

To check if the division is correct we do the division algorithm (prueba de la división):

Division Algorithm:                                        Dividend = Divisor x Quotient + Remainder;

And in Spanish:                                              Dividendo= Divisor x Cociente + Resto.

Solved example:

9.- Find out the outcome of the division 237 : 13 and then check the result with the division algorithm:
                                  237 : 13 = 18      Remainder = 3

Dividend = Divisor x Quotient + Remainder:                  13 x 18 + 3 = 237 so it is correct.

4. COMBINED OPERATIONS

4.1.- Distributive property:

La suma de dos números multiplicada por un tercero es igual a la suma del producto de cada término de la suma por el tercer número.

For example 4 x (6 + 3) = 4 x 6 + 4 x 3.

Así que para hacer la multiplicación de un número por un paréntesis que tiene una suma: 
First, the brackets and then the multiplication:   12 x ( 3 + 5 ) = 12 x 8 = 96
Applying the distributive property:                      12 x ( 3 + 5 ) = 36 + 60 = 96

Solved example:

10.- Do the operation 5 x (12 + 45) in two different ways:
5 x (12 + 45 ) = 5 x 57 = 285 First, the brackets
5 x (12 + 45) = 60 + 225 = 285 Applying the distributive property

Solve the exercise:

6A.- Do the following operations in two different ways:

a) 12 x (12 + 4) =

b) 3 x (2 + 1 + 7) =

c) (12 + 30) x 5

4.2.- Order of the operations

When expressions have more than one operation, we have to follow rules for the order of operations:

• Regla 1: Primero se hace cualquier operación entre paréntesis.

• Regla 2: Después multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.

• Regla 3: Por último sumas y restas, de izquierda a derecha.

  To remind this you can use the PEMDAS rule:

  P: Parenthesis.
  E: Exponents.
  M: Multiplications.
  D: Divisions .
  A S: Additions and subtractions.

Solved Examples:
11.- Solve 3 + 6 x (5 + 4) 3 - 7 using the order ÷ of operations.
Step 1: 3 + 6 x (5 + 4) ÷ 3 - 7 = 3 + 6 x 9 ÷ 3 - 7 Brackets
Step 2: 3 + 6 x 9 ÷ 3 - 7 = 3 + 54 ÷ 3 - 7 Multiplication
Step 3: 3 + 54 ÷ 3 - 7 = 3 + 18 - 7 Division
Step 4: 3 + 18 - 7 = 21 - 7 Addition
Step 5: 21 - 7 = 14 Subtraction

12.- Evaluate 9 - 5 ÷ (8 - 3) x 2 + 6 using the order of operations.
Step 1: 9 - 5 ÷ (8 - 3) x 2 + 6 = 9 - 5 ÷ 5 x 2 + 6 Brackets
Step 2: 9 - 5 ÷ 5 x 2 + 6 = 9 - 1 x 2 + 6 Division
Step 3: 9 - 1 x 2 + 6 = 9 - 2 + 6 Multiplication
Step 4: 9 - 2 + 6 = 7 + 6 Subtraction
Step 5: 7 + 6 = 13 Addition

Como ves en los ejemplos anteriores las multiplicaciones y divisiones o las sumas y las restas se van realizando de izquierda a derecha, nunca de dos en dos. Si dentro de un paréntesis hay varias operaciones volveremos a aplicar la regla PEMDAS a su vez dentro del paréntesis como se ve en el siguiente ejemplo:

13.- Evaluate 150 ÷ (6 + 3 x 8) - 5 using the order of operations.

Solution:

Step 1: 150 (6 + 3 x 8) - 5 = 150 (÷ ÷ 6 + 24) - 5 Multiplication inside brackets.
Step 2: 150 ÷ (6 + 24) - 5 = 150 ÷ 30 - 5 Addition inside brackets.
Step 3: 150 ÷ 30 - 5 = 5 - 5 Division.
Step 4: 5 - 5 = 0 Subtraction.

Solve the exercise:

7A.- Solve using the order of operations:

a) 5 + 2 x (10 – 2 x 5 + 1) – 3 =

b) 10 – 3 x 2 + 35 : (5 – 4 + 3 x 2) =

5. POWERS AND ROOTS.

5.1.-Index form

The notation 3² and 2³ is known as index form. The small digit is called the index number or power. You have already seen that 3² = 3 × 3 = 9, and that 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Similarly, 5⁴ (five to the power of 4) = 5 × 5 × 5 × 5 = 625
and 3⁵ (three to the power of 5) = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243. The index number tells you how many times to multiply the numbers together.

• ·   When the index number is two, the number has been ‘squared‘.
• ·   When the index number is three, the number has been ‘cubed‘.
• ·   When the index number is greater than three you say that it is has been multiplied ‘to the power of‘.

For example: 7² is ’seven squared’,
3³ is ‘three cubed’,
3⁷ is ‘three to the power of seven’,
4⁵ is ‘four to the power of five’.

Question
Look at the table and work out the answers. The first has been done for you.

43	4 × 4 × 4	64
27	2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
72	7 × 7
53
24
65

5.2 Multiplication

How can we work out 2³ × 2⁵
2³ = 2 × 2 × 2
2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
so 2³ × 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁸

There are 3 twos from 2³ and 5 twos from 2⁵, so altogether there are 8 twos. In general, 2^m × 2ⁿ =2^{(m + n)}

Solved Examples:2⁵ × 2⁴ = 2^{(5 + 4)} = 2⁹ 2⁷ × 2³ = 2^{(7 + 3)} = 2¹⁰
The rule also works for other numbers, so 3⁴ × 3² = 3^{(4 + 2)} = 3⁶
25⁶ × 25⁴ = 25^{(6 + 4)} = 25¹⁰

5.3.-Division

If you divide 2⁵ by 2³ you see that some of the 2’s cancel:

After division two 2s are left. 
Five 2s are divided by three 2sSo 2⁵ ÷ 2³ = 2²
In general, 2^m ÷ 2ⁿ = 2^{(m - n)}

Solved Example.-
2⁵ ÷ 2² = 2^{(5 - 2)} = 2³ 2⁷ ÷ 2³ = 2^{(7 - 3)} = 2⁴
The rule also works for other numbers, so 5¹⁰ ÷ 5³ =5^{(10 - 3)} = 5⁷
45⁹ ÷ 45⁴ = 45^{(9 - 4)} = 45⁵

5.4 Roots

Square root

The opposite of squaring a number is called finding the square root.

Solved Examples:

The square root of 16 is 4 (because 4² = 4 × 4 = 16)

The square root of 25 is 5 (because 5² = 5 × 5 = 25)

The square root of 100 is 10 (because 10² = 10 × 10 = 100)

Solve:

What is the square root of 4?

The symbol ‘√ ‘ means square root, so
√ 36 means ‘the square root of 36′, and
√ 81 means ‘the square root of 81′

You will also find a square root key on your calculator.

Cube root

The opposite of cubing a number is called finding the cube root.

Solved Example:

The cube root of 27 is 3 (because 3 × 3 × 3 = 27)

The cube root of 1000 is 10 (because 10 × 10 × 10 = 1000)

Solve:

What is the cube root of 8?

Practica con la BBC . Tras la revision de contenidos, realiza el test que te proponen copiandolo en tu cuaderno.

1.- THE DECIMAL NUMERAL SYSTEM. HOW TO WRITE NUMBERS

Nuestro sistema de numeración es DECIMAL Y POSICIONAL:

DECIMAL porque se compone de diez símbolos: 0, 1, 2, 3, ……… y diez unidades del mismo orden forman una unidad del orden superior.

1 decena = 10 unidades

1 centena = 10 decenas = 100 unidades

1 unidad de millar = 10 centenas = ……. = 1000 unidades

1 decena de millar = 10 unidades de millar = ……… = 10.000 unidades

1 centena de millar = 10 decenas de millar = ……… = 100.000 unidades

1 unidad de millón = 10 centenas de millar = ……. = 1.000.000 unidades

POSICIONAL porque el valor de cada símbolo depende de la posición en el número.

In English, the names of the place values are:

1 ten = 10 units

1 hundred = 10 tens = 100 units

1 thousand = 10 hundreds = ……. = 1000 units

1 ten-thousands = 10 thousands = ……… = 10.000 units

1 hundred-thousands = 10 ten-thousands = ……… = 100.000 units

1 million = 10 hundred-thousands = ……. = 1.000.000 units

Exercise 1. You must do only the first block of exercises. Read the instructions carefully.

When you have finished, copy the last example into your notebook.

Exercise 1. Example: …..

Exercise 2. Copy two orders and your solutions into your notebook.

Exercise 2. Order:…. Solution: …..

This blog is for the students of the bilingual section at “Virgen de Covadonga” Secondary School, in El Entrego, Asturias, Spain. They are studying their first year of their secondary compulsory education (1º ESO). They are 11-12 years old. This schoolyear they are having part of their Maths  in English. This blog is for the activities of maths.