1. - TYPES NUMBERS
1.1 Natural numbers.
Natural numbers are numbers used for counting things. Natural numbers are positive (numbers that are more than one). They are 1, 2, 3, 4, 5,6….and so on until infinity.Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos.La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los números naturales en la que además de un cociente se obtiene un resto.Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3…
1.2.- PRIME NUMBERS
1.2. 1.- History of prime numbersLos números primos y sus propiedades fueron estudiados de manera exhaustiva por los matemáticos de la antigua Grecia. Los matemáticos de la Escuela Pitagórica (500 a. C. a 300 a. C.) estaban interesados en los números por su misticismo y sus propiedades numerológicas. Ellos comprendían la idea de primalidad y estaban interesados en los números perfectos y amigables.Para el momento en que los Elementos Euclidianos aparecieron por el 300 a. C., ya habían sido probados varios resultados importantes acerca de números primos.Esta es una de las primeras demostraciones conocidas en la que se utiliza el método del absurdo para establecer el resultado. Euclides también demuestra el Teorema Fundamental de Aritmética: Todo entero puede ser escrito como un producto único de primosEl matemático Euler (más tarde, en 1747) pudo demostrar que todos, aún los números perfectos, tienen esta forma. Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar. Cerca del 200 a. C. el Griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el Tamiz de Eratóstenes. Se da luego un gran vacío en la historia de los números primos que es usualmente llamado la Edad Obscura.El próximo gran descubrimiento fue realizado por Fermat en los inicios del siglo XVII. El demostró que la teoría de Albert Girard de que cada número primo de la forma 4 n + 1 puede ser escrito de una manera única como la suma de 2 cuadrados y demostró como cualquier número puede ser escrito como la suma de cuatro cuadrados. Ideó un nuevo método de factorización de números largos que demostró por medio de la factorización.El Pequeño Teorema de Fermat es la base de otros muchos resultados en la Teoría de Números y es la base de métodos de verificación de números primos que se utilizan aún hoy en ordenadores electrónicosLos números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto. Los números de la forma 2n - 1 también atrajeron la atención porque es muy fácil demostrar que a menos que n sea primo, este número será compuesto.En 1952 Robinson probó que los números primos de Mersenne son primos utilizando un modelo temprano de ordenador comenzando así la era electrónicaPara el 2005 habían sido encontrados un total de 42 primos de Mersenne. El trabajo de Euler tuvo un gran impacto en la teoría numérica en general y sobre la de primos en particular. Él amplió el Teorema Pequeño de Fermat.Fue el primero en notar que la Teoría de Números puede ser estudiada utilizando las herramientas del análisis y así fundo el objeto de la Teoría del Análisis Numérico. Él demostró que, sumando los recíprocos de todos los primos que hemos listado, aún en las más poderosas computadoras, solo da un resultado próximo a 4, pero la serie continúa divergiendo a infinito.Otros estudiosos de las matemáticas Legendre y Gauss realizaron exhaustivos cálculos sobre la densidad de los números primos. Gauss (que fue un calculador prodigioso) le dijo a un amigo que siempre que tenía 15 minutos libres los gastaba en contar los primos existentes en un ‘chiliad‘ (rango de 1000 números). Para el final de su vida se estima que había contado todos los primos existentes en un rango de cerca de 3 millones.El Teorema de Números Primos intentaron probarlo y continuaron durante el Siglo XIX, con los notables progresos realizados por Chebyshev y Riemann quien pudo relacionar este problema con algo llamado la Hipótesis de Riemann: un resultado aún sin probar acerca de los ceros en el plano complejo de algo llamado la función-zeta de Riemann. 1.2.2. Prime numbersSo, a prime number only has two factors : the number one and itself. For example: 3, 5,11,17, etc. The first prime numbers lower than 100 are: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67.71,73,79,83.89 and 97.Un número primo sólo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.5, 13, 59. El número 1 sólo tiene un divisor, por eso no lo consideramos primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo. Por tanto 179 es primo.
Una de las cuestiones básicas en la teoría de números es la cuestión de la divisibilidad de un número por otro. Los números enteros que sólo son divisibles por 1 y por si mismos, se llaman números primos. El número de números primos es infinito. El primero que lo demostró fue Euclides, después lo demostraron Euler y Chebichev.
Los números primos son, en cierto modo, como los elementos químicos. A partir de los elementos químicos se forman todos los compuestos químicos y a partir de los números primos podemos obtener el resto de los números.
1.2.3. Prime number aplications
El estudio de ciertas clases de primos que, por estar dotados de propiedades especiales, resultan de interés para su uso en los criptosistemas de clave pública y también para la informática.Números primos y criptografía El Teorema Fundamental de la Aritmética es un resultado de existencia. Nos dice que para cada número existe una manera de escribirlo como producto de números primos pero no nos dice cómo hacerlo. Si consideramos un número natural “pequeño”, digamos 3.780, podemos descomponerlo fácilmente en producto de primos haciendo divisiones sencillas:3.780 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5 × 7. Pensaríamos que esta operación se puede hacer con cualquier número. En general, encontrar los números primos que dividen a un número dado es un problema muy difícil, y no sólo desde un punto de vista teórico, sino también computacional. Es decir, que ni el ordenador más potente puede encontrar, 4 en un tiempo razonable, los divisores primos de un número un poco “grande”. Tanto es así que muchos métodos de codificación de información usan este hecho. Los primeros sistemas de transmisión de mensajes secretos se basaban en el intercambio de una clave entre el emisor y el receptor con un contacto directo previo. Esto, en comunicaciones a grandes distancias no era muy práctico ya que hacía necesario que emisor y receptor se juntasen cada vez que motivos de seguridad obligaban a cambiar la clave. En 1977, Rivest, Shamir y Adleman, científicos del MIT en EEUU, idearon unesquema de cifrado de clave publica. Según este método, llamado RSA por las iniciales de los apellidos de sus creadores, el receptor hace público un número natural “grande”, del cual conoce su descomposición en factores primos. Este número es usado por el emisor para cifrar sus mensajes. La idea es que aunque todo el mundo tiene acceso a la clave pública y al mensaje cifrado, éste sólo puede ser descifrado si se conocen los números primos que dividen al número clave. Para que nos hagamos una idea de qué significa “grande”, actualmente se considera segura una clave pública dada por un número natural de más de 300 cifras. Por supuesto, a medida que evolucionan las capacidades de los ordenadores, la idea de lo que es un número “grande” va cambiando. Por ejemplo, los creadores del esquema RSA predijeron que un mensaje encriptado por ellos usando un número de 129 cifras como clave, tardaría en descifrarse 40 trillones de años. Sin embargo, a principios de los años noventa, mediante la colaboración de 1.600 ordenadores durante 8 meses, se consiguió descifrar. Esto, a pesar del error en las predicciones de sus creadores, más que restar validez, al método RSA, muestra su fortaleza e ilustra la dificultad de un problema tan aparentemente sencillo como es la descomposición de un número como producto de primos. Estas aplicaciones de los números primos en el campo de la criptografía muestran cómo las Matemáticas más abstractas pueden tener relación directa con actividades tan mundanas como el uso de un cajero automático. GIMPS En la última década del siglo de la ciencia un avance tecnológico revoluciona el mundo de las telecomunicaciones: Internet. Nacida a partir de una idea del ejército americano apenas 20 años antes, la red de redes pasa rápidamente al ámbito universitario y el fenómeno es entonces imparable. Pronto las instituciones de todo el mundo están conectadas y el número de hogares con acceso a Internet crece de manera exponencial. Con millones de ordenadores conectados entre sí, el siguiente paso natural en la búsqueda de primos-récords es la colaboración en Internet. George Woltman, programador y entusiasta de la teoría de números, empieza a finales de 1995 a recopilar toda la información existente relativa a los primos-récords. También crea un programa optimizado para la búsqueda de primos de Mersenne y lo cuelga en la red. Asíempieza el proyecto GIMPS. La idea es que colaboradores de todo el mundo operen sobre una base de datos central. La automatización final del proceso de participación es realizada a finales de 1997 por Scott Kurowski. Desde entonces, basta con un ordenador personal y un modem para participar en la histórica búsqueda de los números primos. No hay más que conectar con la página WEB de GIMPS y descargar el software necesario. Automáticamente, la base de datos central te asigna una serie de cálculos. Esta tarea la realiza el ordenador con los recursos que no están siendo utilizados en cada momento, no interfiriendo así en su actividad normal. Una vez obtenidos los resultados, el mismo ordenador contacta automáticamente con la base de datos central, actualizándola. Si el ordenador no está conectado continuamente a Internet, espera aestar conectado para hacer la trasferencia de datos. Esto hace posible el uso de los nuevos resultados por otros colaboradores. Así, desde 1996, los cinco números que han ostentado el récord del número primo más grande conocido han sido primos de Mersenne obtenidos por 7.
1.3. - COMPOSITION NUMBERS A composite number has more than two factors. For example: 4, 9 , 15, 30, etc.
Los números compuestos, se pueden expresar como productos de potencias de números primos, a dicha expresión se le llama descomposición de un número en factores primos.
Factorizar un númeroPara factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.432 = 24 · 33 2. -
IMPORTANT MATHEMATICIANS
2.1.- Eratostenes. Eratóstenes nació en Cirene, ahora llamada Shahat en el Norte de Africa, en Libia. Estudió luego en Atenas lo que sería un antiguo equivalente a una formación universitaria. Cuando tendría unos treinta años fue llamado a Alejandría por el rey Ptolomeo III Evergertes, probablemente por recomendación del poeta Calimaco, también natural de Cirene, que trabajaba en la Biblioteca. Fue tutor del príncipe heredero, el futuro Ptolomeo IV Philopator y mantuvo siempre una cercana relación con la casa real. Eratóstenes fue uno de los más notables eruditos de su tiempo, con actividades intelectuales muy variadas. Trabajó en geografía, astronomía, matemáticas, filosofía, cronología, gramática, crítica literaria y también fue poeta. Sus compañeros le llamaban el “pentalos”, el atleta capaz de tomar parte en cinco pruebas distintas. Probablemente porque trabajó en tantos campos, se le llamada también el “beta”, lo cuál se puede interpretar como que una persona que ocupa su tiempo en demasiadas cosas no puede ser excelente en cada una de ellas. Sin embargo fue un estudioso realmente brillante y uno de los grandes sabios de la antigüedadPero, Erastótenes es muy conocido por su descubrimiento en matemáticas de la “Criba de Erastótenes”Como matemático le debemos principalmente la llamada “criba” para encontrar números primos y un instrumento mecánico para hallar la duplicación del cubo. Escribió Platonicos, donde explica nociones matemáticas relacionadas con la filosofía de Platón, tales como proporciones, progresiones y teoría de escalas musicales. Aunque perdida, nos han llegado algunas de sus partes a través del matemático pitagórico Teón de Esmirna (70-135). Escribió también Sobre las medias, texto de geometría que aparece citado en Papo, sobre ciertos lugares geométricos. El problema de los bueyes, enviado por Arquímedes a Eratóstenes “para que sea resuelto por aquellos de Alejandría que se ocupan de estos problemas”, es un problema aritmético que se puede plantear en términos de ecuaciones diofánticas. Esencialmente requiere “determinar el número de bueyes del dios Sol que pacían en la isla de Trinaquia (Sicilia)”. Parece sugerido por La Odisea de Homero donde se dice “Entonces llegarás a la isla de Trinaquia, donde en gran número pacen bueyes y gruesas ovejas del dios Sol”.
Criba de Eratóstenes. Es un sencillo método para hallar números primos y aparece descrita en Introductio Arithmetica de Nicómaco de Gerasa (60-120). Consiste en hacer una tabla de números naturales sucesivos. Empezando con el 2 que es primo, vamos tachando de la lista todos los múltiplos de 2. El primer número que no está tachado es el 3, que es primo. A partir de él vamos tachando todos los múltiplos de 3. El siguiente número que no aparece tachado es el 5, que es primo. A partir de él vamos tachando los múltiplos de 5. Ahora el primer número que no aparece tachado del principio de la lista, el 7 en este caso, tiene que ser primo ya que de haber tenido un divisor lo habríamos tachado ya. Seguimos pues tachando los múltiplos de 7, de siete en siete. Y así sucesivamente. Los números que van quedando de la lista sin tachar son primos.
3.2.- GOLDBACH
El 7 de Julio 1742, Chistian Golbach, profesor de An Petesburgo que acabó en Moscçui como tutor de la familia del zar Pedro II, escribe una carta a Euler donde le comenta que, a pesar de no haber encontrado una demostración, está seguro de que todo número natural mayor o igual que 6 se puede escribir como suma de tras números primos. Euler le contesta que el resultado es equivalente a que todo número natural par mayor o igual que 3 es la suma de dos primos. Este último enunciado es el que pasa a la historia con el nombre de Conjetura de Goldbach, uno de los problemas abiertos más famosos de las Matemáticas. No se duda de su veracidad, como además sugieren los cálculos hechos con algunos de los ordenadores más potentes, pero nadie ha sido capaz de dar una demostración general. El último avance en la comprobación directa del resultado mediante ordenador asegura que el resultado es cierto para todo número par hasta 400 billones. Otra de las conjeturas más interesantes es la relativa a la cantidad de números primos gemelos. Dos números primos p y q se dice que son gemelos si p = q + 2 . Como Ningún número primo puede ser par, dos primos son gemelos si están todo lo cerca que dos primos pueden llegar a estar. Primos gemelos son, por ejemplo, las parejas (17,19), (29,31) y (1.000.000.000.061, 1.000.000.000.063). La Conjetura de los primos gemelos dice que hay infinitas parejas de primos gemelos. Aunque esta afirmación parezca muy similar al resultado que hemos demostrado sobre la existencia de una cantidad infinita de números primos, todavía nadie ha sido capaz de determinar si es cierta o no. Esta conjetura puede sugerir que los primos se encuentran cerca unos de otros. Sin embargo, es fácil ver que hay listas de números naturales consecutivos no primos de cualquier longitud. El número de las diferentes maneras en las que se puede expresar un número par n como la suma dos números primos .
La conjetura de Goldbach es uno de los problemas abiertos más antiguos en matemáticas. A veces se le califica del problema más difícil en la historia de esta ciencia. Su enunciado es el siguiente:
Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.
(Se puede emplear dos veces el mismo número primo)
Por ejemplo, 8=3+5
Esta conjetura había sido conocida por Descartes. La siguiente afirmación es equivalente a la anterior y es la que se conjeturó originalmente en una carta de Goldbach a Euler en 1742:
Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como suma de tres números primos.
Esta conjetura ha sido investigada por muchos teóricos de números y ha sido comprobada por ordenadores para todos los números pares menores que 2×1016. La mayor parte de los matemáticos cree que la conjetura es cierta, y se basan mayormente en las consideraciones estadísticas sobre la distribución probabilística de los números primos en el conjunto de los números naturales: cuanto mayor sea el número entero par, se hace más “probable” que pueda ser escrito como suma de dos números primos.
Andrea Díaz García 1º ESO B Nº 5
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