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Un número primo es un número que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

El número 1 sólo tiene un divisor, por ello no se considera primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo.

Los números compuestos son aquellos que tienes más de 2 divisores: él mismo, la unidad y otro número como mínimo.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada. Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban su base.

También existe el Teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

Un método para determinar la primalidad de un número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120.

Según la forma de los múmeros primos y los matemáticos que los hayan descubierto distinguimos entre diferentes tipos:

Números primos de FermatNúmeros primos de MersenneOtras clases de números primosPara hallar más fácilmente los números primos y demás operaciones, existen unos criterios, llamados de divisibilidad, que son algoritmos para dividir números de manera exacta:

2	El número termina en cero o cifra par.	378: porque “8″ es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24
7	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.	469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.	52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528.

  

Eratóstenes fue un matemático griego que ideó un algoritmo para encontrar números primos. Se escribe por ejemplo los números naturales del 1 al 100 en una tabla y podemos ir tachando primero todos los números divisibles por 2. Luego tachamos todos los números divisibles por 3, después los divisibles por 5 y así sucesivamente.

Cerca del 200 antes de Cristo, el griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el tamiz de Eratóstenes o Criba de Eratóstenes.

La Criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un número determinado.

Elminamos los múliplos de 2. Después los de el siguiente número que no fue eliminado (3) y así sucesivamente.

Los números resultantes al final son primos.

La conjetura de Goldbach

El resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni apoyar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ninguna excepción (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que . Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un  seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos.

Descomposición factorial de n número:

Para descomponer un número en factores primos lo dividimos por el primer número primo que podamos.

El cociente lo colocamos bajo el número

Si se puede seguimos seguimos dividiendo sucesivamente.

Cuando no podamos dividir dividir por ese número primo, buscamos el más próximo a él por el que se pueda dividir.

Así hasta que el cociente sea 1.

Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c) estaban interesados en los números perfectos.

Además de los números primos, existen los números perfectos, que les interesaban a los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c)

Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en sí mismo. Por ejemplo el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2, y 3 y 1+2+3 es igual a 6.

El número 28 tiene como divisores el 1,2,4,7,y 14 y 1+2+4+7+14 es igual a 28.

Euclides también demostró que si el número 2ⁿ -1 es primo, entonces el número 2 ^n-1 (2 ⁿ-1)

Es un número perfecto.

El matemático Euler más tarde en 1747 pudo demostrar que todos aún los nºs perfectos tienen esta forma.

Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.

Hay diferentes tipos de números:

• Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
• Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
• Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 20 y 284 son números amigos.
• Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
• Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
• Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.

Además de estos, hay otros muchos tipos diferentes, y que se utilizan en diferentes aplicaciones que son más complejas.

Curiosidad: los años bisiestos (años de 366 días) siguen unos criterios de divisibilidad para conocer  cuáles son. En nuestro calendario son bisiestos todos los años divisibles entre 4, pero no entre los múltiplos de 100, exceptuando los de 400.

Decimals

Place value and ordering decimals

Decimal place values

We use a decimal point to separate units from parts of a whole (like tenths, hundredths, thousandths, etc).

0.1 is a tenth, 1/10 of a unit

0.01 is a hundredth, 1/100 of a unit

0.001 is a thousandth. 1/1000 of a unit

In 52.13, the value of the figure 1 is 1/10 , and the value of the figure 3 is 3/100.

Ordering decimals

When ordering numbers, always compare the left digits first.

Eg Which is greater, 2.301 or 2.32?

Units		Tenths	Hundredths	Thousandths
2	.	3	0	1
2	.	3	2

Both numbers have two units and three tenths, but 2.301 has no hundredths, whereas 2.32 has two hundredths. Therefore, 2.32 is greater than 2.301.

Adding a zero

Another way to look at it is to add a zero to the end of 2.32 (this doesn’t change its value as it’s after the decimal point).

The two numbers are now 2.320 and 2.301 and it is quite easy to see that 2.320 is bigger (just as 2 320 is bigger than 2 301).

Questions

Q1. In the number 3.546, what is the value of the figure 4?

Q2. Place the following numbers in order, smallest first: 3.2, 3.197, 3.02, 3.19

Adding and subtracting decimals

When adding and subtracting decimals, remember is to keep the decimal points in line in the question and the answer.

Adding decimals

Question

David is doing some DIY. He buys a 2m length of wood. He needs to cut two pieces of wood - one of length 0.6m and one of length 1.02m.

What is the total length of wood that David needs to cut?

Subtracting decimals

Question

David originally had 2m of wood. What is the length of the piece of wood that is left?

Multiplying decimals by 10, 100 and 1000

Multiplying by 10

When a decimal is multiplied by 10, every figure moves one place to the left.

What is 4.25 x 10? 42.5

Multiplying by 100

When multiplying by 100, every figure moves two places to the left.

Question

Which is bigger: 0.005 × 10 or 0.0004 × 1000?

Dividing decimals by 10, 100, 1000

Dividing by 10

When you divide by 10, every figure moves one place to the right. Hundreds become tens, tens become units, units become tenths and tenths become hundredths.

Dividing a decimal by 10

What is 27 divided by 10?

Dividing by 100

When you divide by 100, every figure moves two places to the right.

Dividing a decimal by 100

What is 27 divided by 100?

Dividing by 1000

When you divide by 1000, every figure moves three places to the right.

Dividing a decimal by 1000

What is 30 divided by 1000?

Multiplying a decimal by a whole number

Multiplying a decimal by a whole number is the same as multiplying two whole numbers. Remember:

If there is one digit after the decimal point in the question, there will be one digit after the decimal point in the answer.

If there are two digits after the decimal point in the question, there will be two digits after the decimal point in the answer.

Question

Calculate:

a) 2.43 × 7
b) 2.4 × 5
a) There were two digits after the decimal point in the question (4 and 3), so you must have two digits after the decimal point in the answer.

b) There was one digit after the decimal point in the question, so you must have one digit after the decimal point in the answer. The answer is therefore 12.0, but this can then be given as 12.

Check that you have a sensible answer by finding an approximate solution.

In the above example you were asked to calculate 2.4 × 5.

2 × 5 = 10, so you are looking for an answer which is slightly bigger than 10. So an answer of 12 seems sensible.

Dividing a decimal by a whole number

Remember to keep the decimal points aligned in the question and the answer.

Example

Work out 4.05 divided by 9

Solution:

Example

Work out 2.4 divided by 5

Solution:

It is sometimes necessary to add a ‘0′ or ‘0’s to the end of a decimal, as in this example (2.40 is the same as 2.4 but the question stays the same)

Multiplying by a number between 0 and 1

The multiplication sign can be replaced by ‘lots of’.

For example,

2 × 3 means 2 lots of 3
6 × 8 means 6 lots of 8

So, 1/2 × 10 means 1/2 of 10
And 1/3 × 12 means 1/3 of 12

When you multiply by a number greater than 1, you get an answer that is greater than the original number. But when you multiply by a number between 0 and 1, the answer is smaller than the original number.

In general:

m × 1/n = m ÷ n

Example

8 × 1/4 = 8 ÷ 4 = 2

20 × 1/5 = 20 ÷ 5 = 4

Dividing by a number between 0 and 1

Imagine that you had 10 bars of chocolate that you wanted to share amongst some children.

If you gave the children 2 bars each, you would have enough for 5 children.
10 ÷ 2 = 5

If you gave the children 1/2 bar each, you would have enough for 20 children.
10 ÷ 1/2 = 20

The pattern

Can you see what’s happening?

10 ÷ 2 = 5

10 ÷ 1/2 = 20

When you divide by a whole number the answer is less than the original number. When you divide by 1/2 the answer (20) is greater than the original number (10).

It’s the opposite of multiplying. When we divide by a number greater than 1, we get an answer that is less than the original number. But when we divide by a number between 0 and 1 the answer is larger than the original number.

So, 10 ÷ 1/2 = 20

Similarly, 10 ÷ 1/3 = 30 and 10 ÷ 1/4 = 40

In general:

m ÷ 1/n = mn

Questions

Q1. What is 10 ÷ 1/7 ?

Q2. Find the value of: 4 ÷ 1/3

BBC

TEST

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