ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas. Resolver una ecuación es encontrar los valores de las incógnitas que la satisfacen, y se llama solución de una ecuación a cualquier valor de dichas variables que cumpla la igualdad planteada. Para el caso dado, la solución es:
An equation is equality between two algebraic expressions, called members, listed values known data, and unknown or incógnitas, using mathematical operations. Known values can be numbers, coefficients or constant; and also variables whose magnitude is established as a result of other operations. The unknowns, usually represented by letters, are the values to be found. For example, in the equation:
The letter x represents the unknown, while 3 coefficient and the numbers 1 and 9 are constant known. Solve an equation is to find the values of the unknowns to meet, and call solution equation any variable such value that meets the proposed equality. For the given case, the solution is:
1. ECUACIONS POLINÓMICAS ENTERAS
Las ecuaciones polinómicas son de la forma P(x) = 0, donde P(x) es un polinomio.
The polynomial equations are of the form P (x) = 0, where P (x) is a polynomial
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación es el mayor de los grados de los monomios que forman sus miembros.
The degree of an equation is greater degrees of monomials are its members.
Tipos de ecuaciones polinómicas
1.1 Ecuaciones de primer grado o lineales
Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adoptan esa expresión.
They are the ax + b = 0 with a ≠ 0, or any other equation in which to operate, transpose terms and simplify adopt this expression.
(x + 1)2 = x2 - 2
x2 + 2x + 1 = x2 - 2
2x + 1 = -2
2x + 3 = 0
1.2 Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas
Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.
They are the type equations ax 2 + bx + c = 0 with a ≠ 0.
Ecuaciones de segundo grado incompletas
ax2 = 0
ax2 + b = 0
ax2 + bx = 0
1.3 Ecuaciones de tercer grado
Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.
They are the type equations ax 3 + 2 bx + cx + d = 0 with a ≠ 0.
1.4 Ecuaciones de cuarto grado
Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, con a ≠ 0.
They are the type equations ax 4 + bx 3 + 2 cx + dx + e = 0 with a ≠ 0.
Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términos de grado impar.
ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.
1.5 Ecuaciones de grado n
En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:
In general, the equations of degree n are of the form:
a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + …+ a0 = 0
2. ECUACIOMNES POLINOMICAS RACIONALES
Las ecuaciones polinómicas son de la forma 
donde P(x) y Q(x) son polinomios.
3. ECUACIONES POLINÓMICAS IRRACIONALES
Las ecuaciones irracionales son aquellas que tienen al menos un polinomio bajo el signo radical.
4. ECUACIONES NO POLINÓMICAS
4.1 Ecuaciones exponenciales
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.
4.2 Ecuaciones logarítmicas
Son ecuaciones en la que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
4.3 Ecuaciones trigonométricas
Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectada por una función trigonométrica. Como éstas son periódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.
5.-MÉTODOS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES Tratamos de adivinar el número deshaciendo de forma inversa las operaciones que aparecían en el enunciado. Por ejemplo, si le sale 1700 tenemos la ecuación:
Este proceso puede esquematizarse así:
Luego n=7 es la solución de la ecuación 100n+1000=1700. A este método se le llama método de deshacer.
Otro método algebraico para resolver ecuaciones consiste en representar una igualdad por una balanza en equilibrio. Por ejemplo una igualdad numérica como:
 |
estaría representada como:
La ecuación 2x+5=17 se representaría como:
Si quito 5 del platillo izquierdo la balanza se desequilibrará. Por tanto, tendré que quitar la misma cantidad en el platillo de la derecha para que se equilibre:
que equivale a:
Luego la balanza estará equilibrada si quito x de la izquierda y 6 de la derecha:
Por tanto x=6 es la solución de la ecuación 2x+5=17
De esta forma nos damos cuenta que obtenemos la solución de una ecuación pasando de unas situaciones de equilibrio a otras. Si traducimos estos gráficos al lenguaje algebraico tendríamos:
Entonces decimos que 2x+5=17 y 2x=12 tienen la misma solución ( x=6 ).
| De dos ecuaciones que tienen las mismas soluciones se dice que son ecuaciones equivalentes. |
| Podemos obtener ecuaciones equivalentes, pues, sumando o restando el mismo número en ambos miembros o bien multiplicando o dividiendo por el mismo número como acabamos de ver en los gráficos de balanzas y en las expresiones algebraicas:Si a los dos miembros de una ecuación, se les suma o resta un mismo número o una misma expresión algebraica, la ecuación que resulta es equivalente a la dada.
Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por un mismo número, distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada. |
Una buena técnica para resolver una ecuación de 1er grado sería obtener ecuaciones equivalentes cada vez más sencillas hasta obtener una en la que la incógnita estuviese despejada.
5.1 Resolución de ecuaciones de primer grado.
Entonces vamos a intentar resolver con este método llamado de transposición las ecuaciones de 1er grado con una incógnita.
| Llamamos ecuación de primer grado con una incógnita a toda ecuación equivalente a otra de la forma:a.x = b
con a distinto de cero. |
Los pasos a seguir en el método de transposición:
Quitamos paréntesis:
Restamos 8 a cada lado de la ecuación:
el resultado sería:
y dividiendo cada miembro de la ecuación por 2:
Hay ecuaciones en las que pueden aparecer denominadores:
Si quitamos paréntesis:
Para que desaparezcan los denominadores en la ecuación debemos multiplicar los cuatro términos por un número que sea múltiplo de 1,3,4 y 6 a la vez. Uno podría ser 1.3.4.6=72, pero buscamos uno más pequeño para que los cálculos sean más sencillos: el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de 1,3,4 y 6:
luego:
Como 12 es múltiplo de cada denominador, la división con cada uno será entera:
Volvemos a quitar paréntesis:
Sumamos términos semejantes:
Transponemos términos:
De nuevo sumamos términos semejantes:
Dividimos por 46:
que es el resultado.
|
5.2Resolución de ecuaciones de segundo grado |
La ecuación: 
, donde a, b y c son números reales y a
¹ 0, se llama ecuación
Considere la ecuación cuadrática:
; a0.
Si 
, entonces, las raíces son reales y diferentes.
Si 
, entonces, las raíces son reales e iguales.
Si 
, entonces, las raíces son complejas conjugadas.
5.2.1 Solución de ecuaciones cuadráticas.
Para resolver la ecuación cuadrática, puede usarse cualquiera de los siguientes métodos:
Método 1. Solución por factorización .
Como toda ecuación cuadrática es equivalente a una ecuación en la cual uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se procede así:
Si , 
, entonces, la ecuación es equivalente a:
(1).
La ecuación (1) puede resolverse usando la propiedad del sistema de los números reales: 
.
Método 2. Solución por completación de cuadrados.
Este método es el más antiguo que existe para encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática.
Se supone que la ecuación:,con a 0 ,es equivalente a la ecuación cuadrática:
(1).
Sumando 
en ambos miembros de la ecuación (1), se obtiene:
ó 
Extrayendo raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad (lo cual tiene sentido solo si 
), se obtiene:
, de donde 
(2).
La fórmula (2) proporciona las dos soluciones (una para cada signo) de la ecuación cuadrática (1), que es equivalente a la ecuación : .
Método 3 solución por la formula general
Usando el método de completación de cuadrados, demuestre que la solución de la ecuación cuadrática : 
, con a 0 viene dada por :
(1).
Solución :
La ecuación: 
, con a 0 ,es equivalente a la ecuación :
Sumando 
,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:
O equivalentemente,
Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad(si b2-4ac >= 0), se obtiene:
De donde :
(2)
La fórmula (2) se conoce como :fórmula general para resolver la ecuación cuadrática : ; con a 0.
6. MATEMATICOS IMPORTANTES
François Viète
François Viète (1540-1603), matemático francés, fue el primero que utilizó letras para designar a las incógnitas y las constantes de las 
ecuaciones algebraicas. También desarrolló un método para calcular el valor del número pi con un gran número de decimales.
Demostró el valor y la utilidad de los símbolos, abandonó el uso de palabras en el Álgebra y utilizó en sus cálculos las letras minúsculas latinas: las vocales representaban magnitudes desconocidas, y las consonantes, magnitudes conocidas. Fue el primero en reducir expresiones matemáticas a «fórmulas» en el verdadero sentido del término. El término «coeficiente» deriva también de su vocabulario y aparece en uno de sus problemas geométricos.
Viète mejoró la teoría de ecuaciones y presentó métodos para resolver ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado. Sin embargo, no las resolvía como en la actualidad, sino que las asociaba a problemas geométricos, aplicando lo que él llamaba el principio de homogeneidad.
RENE DESCARTES
En 1635 el matemático y filósofo francés René Descartes publicó un libro sobre la teoría de ecuaciones, incluyendo su regla de los signos para saber el número de raíces positivas y negativas de una ecuación. Unas cuantas décadas más tarde, el físico y matemático inglés Isaac Newton descubrió un método iterativo para encontrar las raíces de ecuaciones. Hoy se denomina método Newton-Raphson, y el método iterativo de Herón.
7.APLICACIONES IMPORTANTES DE LAS ECUACIONES
Galileo Galilei (1564-1642) fue el continuador de Copérnico. Perfeccionó el telescopio, que le permitió hacer observaciones con un aumento de 30 veces. Formuló la teoría sobre la caída de los cuerpos: en el vacío caen a igual velocidad.
Newton formuló la ley de la gravitación de los cuerpos. Isaac Newton, el científico inglés y matemático (entre otras cosas) de los siglos 17 y 18, fue la primera persona en proponer un modelo matemático que describe la atracción gravitacional entre los objetos. Albert Einstein se basó sobre este modelo en el siglo 20 y desarrolló una descripción más completa de la gravedad en su Teoría General de la Relatividad.
Kepler descubrió que los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Las primeras concepciones del universo eran “geocéntricas” – localizaban la tierra en el centro del universo con los planetas y estrellas girando a su alrededor. Este modelo ptolemeico del universo dominó el pensamiento científico por muchos siglos, hasta que el trabajo de cuidadosos astrónomos como Tycho Brahe, Nicolaus Copernicus, Galileo Galilei y Johannes Kepler suplantó esta visión del cosmos. La “Revolución Copernicana” localizó al sol al centro del sistema solar y a los planetas, incluido el planeta tierra, en la órbita alrededor del sol. Este cambio importante en la percepción sentó las bases para que Isaac Newton empezase a pensar sobre la gravedad y su relación con el movimiento de los planetas.
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Sistema Solar |
Estos y otros progresos en la astronomía permitieron rectificar el calendario. El Calendario Juliano, establecido en su tiempo por Julio César, se basaba en un cálculo erróneo del año solar, de modo que el año calendario excedía el año real o solar en 11 minutos y 14 segundos.
Y otros muchos más inventos que siguieron a estos desde esos años hasta nuestros días en los que todavía se siguen utilizando.
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