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Un número primo es un número que solo tiene dos divisores: él mismo y la unidad.

El número 1 sólo tiene un divisor, por ello no se considera primo. Para averiguar si un número es primo, se divide ordenadamente por todos los números primos menores que él. Cuando, sin resultar divisiones exactas, llega a obtenerse un cociente menor o igual al divisor, se dice que el número es primo.

Los números compuestos son aquellos que tienes más de 2 divisores: él mismo, la unidad y otro número como mínimo.

Durante mucho tiempo, se pensaba que la aplicación de los números primos era muy limitada. Esto cambió en los años 1970 con el desarrollo de la criptografía de clave pública, en la que los números primos formaban su base.

También existe el Teorema fundamental de la aritmética, que afirma que todo entero positivo se puede representar de forma única como producto de factores primos. Por ejemplo,

Un método para determinar la primalidad de un número es la división por tentativa, que consiste en dividir sucesivamente ese número entre los números primos menores o iguales a su raíz cuadrada. Si alguna de las divisiones es exacta, entonces el número no es primo; en caso contrario, es primo. Por ejemplo, dado n menor o igual que 120, para determinar su primalidad basta comprobar si es divisible entre 2, 3, 5 y 7, ya que el siguiente número primo, 11, ya es mayor que √120.

Según la forma de los múmeros primos y los matemáticos que los hayan descubierto distinguimos entre diferentes tipos:

Números primos de FermatNúmeros primos de MersenneOtras clases de números primosPara hallar más fácilmente los números primos y demás operaciones, existen unos criterios, llamados de divisibilidad, que son algoritmos para dividir números de manera exacta:

2	El número termina en cero o cifra par.	378: porque “8″ es par.
3	La suma de sus cifras es un múltiplo de 3.	480: porque 4+ 8+ 0 = 12 es múltiplo de 3.
4	El número formado por las dos últimas cifras es 00 ó múltiplo de 4.	7324: porque 24 es múltiplo de 4.
5	La última cifra es 0 ó 5.	485: porque acaba en 5.
6	El número es divisible por 2 y por 3.	24
7	Para números de 3 cifras: Al número formado por las dos primeras cifras se le resta la última multiplicada por 2. Si el resultado es múltiplo de 7, el número original también lo es.	469: porque 46-(9*2)= 28 que es múltiplo de 7.
	Para números de más de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras y aplicar el criterio de arriba a cada grupo. Sumar y restar alternativamente el resultado obtenido en cada grupo y comprobar si el resultado final es un múltiplo de 7.	52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 es múltiplo de 7.
8	El número formado por las tres últimas cifras es 000 ó múltiplo de 8.	27280: porque 280 es múltiplo de 8.
9	La suma de sus cifras es múltiplo de 9.	3744: porque 3+7+4+4= 18 es múltiplo de 9.
10	La última cifra es 0.	470: La última cifra es 0.
11	Sumando las cifras (del número) en posición impar por un lado y las de posición par por otro. Luego se resta el resultado de ambas sumas obtenidas. si el resultado es cero (0) o un múltiplo de 11, el número es divisible por éste. Si el número tiene dos cifras será multiplo de 11 si esas dos cifras son iguales.	42702: 4+7+2=13 · 2+0=2 · 13-2=11 → 11 es múltiplo de 11 44: porque las dos cifras son iguales.Entonces 44 es Múltiplo de 11
12	El número es divisible por 3 y 4.	528.

  

Eratóstenes fue un matemático griego que ideó un algoritmo para encontrar números primos. Se escribe por ejemplo los números naturales del 1 al 100 en una tabla y podemos ir tachando primero todos los números divisibles por 2. Luego tachamos todos los números divisibles por 3, después los divisibles por 5 y así sucesivamente.

Cerca del 200 antes de Cristo, el griego Eratóstenes ideó un algoritmo para calcular números primos llamado el tamiz de Eratóstenes o Criba de Eratóstenes.

La Criba de Eratóstenes es un algoritmo que permite hallar todos los números primos menores que un número natural dado.

Partimos de una lista de números que van de 2 hasta un número determinado.

Elminamos los múliplos de 2. Después los de el siguiente número que no fue eliminado (3) y así sucesivamente.

Los números resultantes al final son primos.

La conjetura de Goldbach

El resultado conocido como conjetura de Goldbach (aunque posiblemente es más acertado denominarla conjetura fuerte de Goldbach) fue propuesto por Christian Goldbach a través de una a Euler en 1742. Su formulación es la siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos.

Enunciado sencillo que, como ocurre en muchas otras ocasiones llevan a estudios muy complicados. Algunos ejemplos (se puede repetir el número primo):

El gran matemático suizo (Euler) no consiguió demostrar ni apoyar el resultado (por no dedicarle el tiempo suficiente o por no dar con la tecla correcta). Y en la actualidad, casi 300 años después, seguimos igual. Nadie ha dado una demostración totalmente concluyente sobre la veracidad del resultado y tampoco se ha encontrado ninguna excepción (es decir, un número par que no pueda ponerse como suma de dos números primos).

En los últimos tiempos, gracias al desarrollo tecnológico, se ha podido comprobar con la ayuda de los ordenadores que la conjetura es cierta para todo número par menor que . Es decir, se sabe con total seguridad que todo números par menor que un  seguido de 18 ceros puede escribirse como suma de dos números primos.

Descomposición factorial de n número:

Para descomponer un número en factores primos lo dividimos por el primer número primo que podamos.

El cociente lo colocamos bajo el número

Si se puede seguimos seguimos dividiendo sucesivamente.

Cuando no podamos dividir dividir por ese número primo, buscamos el más próximo a él por el que se pueda dividir.

Así hasta que el cociente sea 1.

Los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c) estaban interesados en los números perfectos.

Además de los números primos, existen los números perfectos, que les interesaban a los matemáticos de la escuela pitagórica (500 años a.c a 300 años a.c)

Un número perfecto es aquel que la suma de sus divisores propios da como resultado el número en sí mismo. Por ejemplo el número 6 tiene como divisores propios al 1, 2, y 3 y 1+2+3 es igual a 6.

El número 28 tiene como divisores el 1,2,4,7,y 14 y 1+2+4+7+14 es igual a 28.

Euclides también demostró que si el número 2ⁿ -1 es primo, entonces el número 2 ^n-1 (2 ⁿ-1)

Es un número perfecto.

El matemático Euler más tarde en 1747 pudo demostrar que todos aún los nºs perfectos tienen esta forma.

Hasta el día de hoy no se sabe si existe algún número perfecto que sea impar.

Hay diferentes tipos de números:

• Número abundante: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número. Por ejemplo, 12 es abundante ya que sus divisores son 1, 2, 3, 4 y 6 y se cumple que 1+2+3+4+6=16, que es mayor que el propio 12.
• Número deficiente: todo número natural que cumple que la suma de sus divisores propios es menor que el propio número. Por ejemplo, 16 es un número deficiente ya que sus divisores propios son 1, 2, 4 y 8 y se cumple que 1+2+4+8=15, que es menor que 16.
• Números amigos: parejas de números que cumplen que la suma de los divisores propios de cada uno de ellos da como resultado el otro número. Por ejemplo, 20 y 284 son números amigos.
• Número palindrómico: número natural que se lee igual de derecha a izquierda y de izquierda a derecha. Por ejemplo 1348431.
• Número repunit: todo número natural que está formado solamente por unos: 1, 11, 111, 1111,…
• Número ondulado: todo número natural de la forma ababab…. Por ejemplo, los números 121 y 13131 son números ondulados.

Además de estos, hay otros muchos tipos diferentes, y que se utilizan en diferentes aplicaciones que son más complejas.

Curiosidad: los años bisiestos (años de 366 días) siguen unos criterios de divisibilidad para conocer  cuáles son. En nuestro calendario son bisiestos todos los años divisibles entre 4, pero no entre los múltiplos de 100, exceptuando los de 400.